Capítulo 14 – Medidas de superfície, ampliação e redução de figuras (Unidade 4: Pediu, calculou, chegou!)
Resumo completo
Capítulo 14 – Medidas de superfície, ampliação e redução de figuras (Unidade 4: Pediu, calculou, chegou!)
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1Do que trata este capítulo
Neste capítulo você vai aprender a medir superfícies, ou seja, descobrir quanto espaço uma figura plana ocupa. Essa medida se chama área.
A ideia apareceu num exemplo curioso: um mural gigante feito com 85 784 cubos mágicos. Como cada face do cubo tem 9 quadradinhos (malha 3 × 3), dá para medir o mural usando o quadradinho como unidade.
Você também vai aprender a converter unidades (m², cm², km²), calcular a área do retângulo, do quadrado e do triângulo, e ampliar ou reduzir figuras numa malha quadriculada.
Exemplos
Mural com 85 784 cubos, cada face com 9 quadradinhos: 85 784 · 9 = 772 056 quadradinhos. Então a superfície do mural mede 772 056 quadradinhos.
Área de cobertura de um delivery com formato retangular de 10 km por 23 km: 10 · 23 = 230. A área é 230 km² (a unidade adequada é o quilômetro quadrado, pois as distâncias são grandes).
O que você vai estudar
Tema
O que aprender
Unidades de superfície
O que é área e o que é 1 cm², 1 m², 1 u.a.
Múltiplos e submúltiplos
km², hm², dam², m², dm², cm², mm² e conversões
Áreas de figuras planas
Retângulo, quadrado e triângulo
Ampliação e redução
Desenhar figuras maiores ou menores em malhas
Área × perímetro
Como as razões mudam quando ampliamos ou reduzimos
1Unidades de medida de superfície
Para medir qualquer coisa, primeiro escolhemos uma unidade de medida. Quando medimos superfícies, a unidade costuma ser um quadrado.
Se o quadrado tem 1 cm de lado, ele ocupa uma superfície de 1 centímetro quadrado (1 cm²). Do mesmo jeito, um quadrado de 1 m de lado ocupa 1 m².
Medir uma superfície é contar quantas vezes a unidade cabe dentro da figura. O resultado dessa contagem é a área.
Quando a unidade escolhida não faz parte do sistema métrico (por exemplo, um quadradinho qualquer de uma malha), escrevemos u.a., que significa unidade de área.
📐 Para guardar
Área = quantas vezes a unidade de medida cabe na superfície
1 cm² = área de um quadrado de 1 cm de lado
1 m² = área de um quadrado de 1 m de lado (unidade padrão)
Exemplos
Um quadrado de 1 cm de lado dividido ao meio: cada metade (por corte vertical, horizontal ou pela diagonal) tem área de 0,5 cm², ou seja, meio centímetro quadrado.
Numa malha em que cada quadradinho tem 1 cm de lado, uma figura que cobre 12 quadradinhos tem área de 12 cm².
Retângulos com 12 u.a. e lados inteiros: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 (e também 12 × 1, 6 × 2 e 4 × 3, que são os mesmos virados).
Como medir a área de uma figura desenhada na malha
Passo
O que fazer
1
Veja qual é a unidade: quanto vale 1 quadradinho (1 cm², 1 u.a. etc.).
2
Conte os quadradinhos inteiros que a figura cobre.
3
Junte as partes (meios quadradinhos, por exemplo): 2 metades = 1 inteiro.
4
Some tudo e escreva o resultado com a unidade certa.
2Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado
No sistema métrico decimal, a unidade padrão de superfície é o metro quadrado (m²). Para escrever áreas muito grandes ou muito pequenas foram criados os múltiplos e os submúltiplos.
Atenção a uma diferença importante em relação ao comprimento: nas medidas de superfície, cada unidade é 100 vezes maior que a unidade que vem logo depois dela (e 100 vezes menor que a anterior).
Por quê 100? Porque 1 dm = 10 cm, então um quadrado de 1 dm de lado tem 10 · 10 = 100 quadradinhos de 1 cm². Ou seja, 1 dm² = 100 cm².
📐 Para guardar
1 km² = 1 000 000 m²
1 hm² = 10 000 m²
1 dam² = 100 m²
1 dm² = 0,01 m² (1 m² = 100 dm²)
1 cm² = 0,0001 m² (1 dm² = 100 cm²)
1 mm² = 0,000001 m² (1 cm² = 100 mm²)
Exemplos
1 dm² = 100 cm², porque um quadrado de 1 dm (= 10 cm) de lado é formado por 10 fileiras de 10 quadradinhos de 1 cm².
3 m² equivalem a 3 · 100 = 300 dm².
Quadro das unidades de superfície
Tipo
Nome
Símbolo
Valor em m²
Múltiplo
Quilômetro quadrado
km²
1 000 000 m²
Múltiplo
Hectômetro quadrado
hm²
10 000 m²
Múltiplo
Decâmetro quadrado
dam²
100 m²
Unidade padrão
Metro quadrado
m²
1 m²
Submúltiplo
Decímetro quadrado
dm²
0,01 m²
Submúltiplo
Centímetro quadrado
cm²
0,0001 m²
Submúltiplo
Milímetro quadrado
mm²
0,000001 m²
2.1Leitura das medidas de superfície
Para ler uma medida de superfície, colocamos o número em um quadro com as colunas km², hm², dam², m², dm², cm² e mm².
A regra de ouro: cada unidade ocupa dois algarismos na sua coluna. Se faltar algarismo, completamos com zero.
O zero entra à direita quando falta na parte decimal e à esquerda quando falta na parte inteira (assim o valor do número não muda). Cuidado: 201,6 = 0201,6, mas 201,6 ≠ 2001,6.
Exemplos
23,68 m² → coluna m² recebe 23, e coluna dm² recebe 68. Lê-se: vinte e três metros quadrados e sessenta e oito decímetros quadrados.
0,576 dam² → dam²: 0,; m²: 57; dm²: 60 (completamos com um zero à direita). Lê-se: cinco mil setecentos e sessenta decímetros quadrados.
201,6 hm² → km²: 02; hm²: 01,; dam²: 60. Lê-se: duzentos e um hectômetros quadrados e sessenta decâmetros quadrados.
Exemplo 23,68 m² no quadro de medidas
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
23,
68
2.2Mudança de unidade (conversões)
Existe um jeito prático de converter: na régua km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm².
Andando para a direita (para unidades menores), você multiplica por 100 em cada passo. Andando para a esquerda (para unidades maiores), você divide por 100 em cada passo.
Na prática, cada passo desloca a vírgula duas casas: duas para a direita quando multiplica e duas para a esquerda quando divide.
📐 Para guardar
Unidade maior → menor: × 100 a cada passo (vírgula anda 2 casas para a direita)
Unidade menor → maior: ÷ 100 a cada passo (vírgula anda 2 casas para a esquerda)
Exemplos
16,23 dam² em m²: é 1 passo para a direita → 16,23 · 100 = 1 623 m².
3,723 m² em cm²: são 2 passos para a direita → 3,723 · 100 · 100 = 37 230 cm².
2,81 hm² em dm²: são 3 passos → 2,81 · 100 · 100 · 100 = 2 810 000 dm².
631,23 dam² em km²: são 2 passos para a esquerda → 631,23 : 100 : 100 = 0,063123 km².
317 dm² em m²: 1 passo para a esquerda → 317 : 100 = 3,17 m².
780 mm² em cm²: 1 passo para a esquerda → 780 : 100 = 7,8 cm².
Operação com unidades diferentes: 43,1 m² + 540,1 dm². Primeiro converta: 540,1 dm² = 5,401 m². Depois some: 43,1 + 5,401 = 48,501 m².
Quantas vezes multiplicar ou dividir
Conversão
Nº de passos
Operação
Resultado
dam² → m²
1
× 100
16,23 dam² = 1 623 m²
m² → cm²
2
× 10 000
3,723 m² = 37 230 cm²
hm² → dm²
3
× 1 000 000
2,81 hm² = 2 810 000 dm²
dam² → km²
2
÷ 10 000
631,23 dam² = 0,063123 km²
dm² → m²
1
÷ 100
317 dm² = 3,17 m²
mm² → cm²
1
÷ 100
780 mm² = 7,8 cm²
3Áreas de quadrados e retângulos
Quando quadriculamos o interior de um retângulo com quadradinhos de 1 cm de lado, percebemos algo simples: o número de quadradinhos é o produto da base pela altura.
Por isso, a área do retângulo é base vezes altura. Em um retângulo de 4 cm por 2 cm, há 2 fileiras de 4 quadradinhos: 4 · 2 = 8 cm².
O quadrado é um retângulo especial: a base e a altura têm a mesma medida. Então a área do quadrado é o lado multiplicado por ele mesmo.
📐 Para guardar
A(retângulo) = b · h (b = base, h = altura)
A(quadrado) = ℓ · ℓ = ℓ²
Perímetro do retângulo = 2 · (b + h)
Perímetro do quadrado = 4 · ℓ
Exemplos
Retângulo com 20 dm de base e 4 dm de altura, em m²: 20 dm = 2 m e 4 dm = 0,4 m → A = 2 · 0,4 = 0,8 m².
Quadrado de lado 6 m: A = 6 · 6 = 36 m².
Quadrado de lado 100 cm: A = 100 · 100 = 10 000 cm². Como 100 cm = 1 m, esse mesmo quadrado tem 1 m². Logo, 1 m² = 10 000 cm².
Retângulo em que base + altura = 18 m e a base é 6,5 m: altura = 18 − 6,5 = 11,5 m. A = 6,5 · 11,5 = 74,75 m².
Campo de futebol de 1 hm por 480 dm, em dam²: 1 hm = 10 dam e 480 dm = 4,8 dam → A = 10 · 4,8 = 48 dam².
Ladrilhos de 12 cm de lado para uma cozinha de 3,6 m por 2,4 m: área da cozinha = 3,6 · 2,4 = 8,64 m² = 86 400 cm²; área do ladrilho = 12 · 12 = 144 cm²; 86 400 : 144 = 600 ladrilhos.
Sala retangular com 21 m² e largura 3,5 m: comprimento = 21 : 3,5 = 6 m. Perímetro (moldura de gesso) = 2 · (6 + 3,5) = 19 m.
Quadrado com 81 m² de área: lado = 9 m (pois 9 · 9 = 81); perímetro = 4 · 9 = 36 m.
Fórmulas das áreas
Figura
Medidas
Fórmula
Exemplo
Retângulo
base b e altura h
A = b · h
b = 5 cm, h = 3 cm → A = 15 cm²
Quadrado
lado ℓ
A = ℓ²
ℓ = 6 m → A = 36 m²
3.1Área total da superfície de caixas (cubos e blocos retangulares)
Um cubo ou uma caixa (bloco retangular) tem faces que são retângulos ou quadrados. A área total é a soma das áreas de todas as faces.
O cubo tem 6 faces quadradas iguais: basta calcular uma face e multiplicar por 6. O bloco retangular tem 3 pares de faces iguais.
Se a caixa não tem tampa, você tira a área de uma face do total.
📐 Para guardar
Área total do cubo = 6 · ℓ²
Área total do bloco retangular = 2 · (c·l) + 2 · (c·h) + 2 · (l·h)
Exemplos
Cubo de 5 cm de aresta: uma face = 5 · 5 = 25 cm²; área total = 6 · 25 = 150 cm².
Bloco de 4 cm × 6 cm × 2 cm: 2·(4·6) = 48; 2·(4·2) = 16; 2·(6·2) = 24. Total = 48 + 16 + 24 = 88 cm².
Caixa cúbica de presente com 7 cm de aresta: uma face = 49 cm²; sem a tampa são 5 faces → 5 · 49 = 245 cm².
Cubo de 2 m de aresta coberto por quadradinhos de 0,25 cm²: área total = 6 · (2 m)² = 24 m² = 240 000 cm²; 240 000 : 0,25 = 960 000 quadrados.
Cesta de lixo sem tampa, 28 cm × 30 cm × 47 cm: fundo = 28 · 30 = 840 cm²; laterais = 2·(28·47) + 2·(30·47) = 2 632 + 2 820 = 5 452 cm². Total = 6 292 cm² = 0,6292 m².
4Áreas de triângulos
Se você desenhar um retângulo em volta de um triângulo, usando a mesma base e a mesma altura, vai perceber que o triângulo ocupa exatamente metade do retângulo.
Por isso, para achar a área do triângulo, multiplicamos base por altura e dividimos por 2.
A altura do triângulo é a distância do vértice até a base, medida em linha reta (formando ângulo reto com a base). Triângulos com a mesma base e a mesma altura têm sempre a mesma área, mesmo que tenham formatos diferentes.
📐 Para guardar
A(triângulo) = (b · h) : 2
Ou: A = (b : 2) · h — dá o mesmo resultado
Exemplos
Triângulo com base 20 cm e altura 4 cm: A = (20 · 4) : 2 = 80 : 2 = 40 cm².
Triângulo com base 10 cm e altura 2 cm: A = (10 · 2) : 2 = 10 cm².
Estratégia da Priscila: o triângulo é metade de um retângulo 4 cm × 9 cm → A = 4 · 9 : 2 = 18 cm². Estratégia do Marcos: A = (4 : 2) · 9 = 18 cm². As duas estão corretas.
Parte colorida: quadrado/retângulo de 4 cm × 3 cm com um triângulo branco de base 4 cm e altura 3 cm dentro. Área total = 12 cm²; triângulo = (4 · 3) : 2 = 6 cm²; parte colorida = 12 − 6 = 6 cm².
Moldura: retângulo maior 5 cm × 3 cm = 15 cm²; retângulo menor 4 cm × 2 cm = 8 cm²; parte colorida = 15 − 8 = 7 cm².
Triângulo com a mesma área de um quadrado de 12 cm de lado (144 cm²) e altura 12 cm: (b · 12) : 2 = 144 → b · 12 = 288 → b = 24 cm.
Retângulo ABCD de 13 m × 8 m com a diagonal AC: o triângulo ABC é metade do retângulo → A = (13 · 8) : 2 = 52 m².
Comparando retângulo e triângulo
Figura
Base
Altura
Área
Retângulo
6 cm
3 cm
6 · 3 = 18 cm²
Triângulo (mesma base e altura)
6 cm
3 cm
(6 · 3) : 2 = 9 cm²
Conclusão
—
—
O triângulo tem metade da área do retângulo
5Ampliação e redução de figuras planas
Na malha quadriculada dá para desenhar a mesma figura maior ou menor. Isso se chama ampliação (aumentar) e redução (diminuir).
Para ampliar na razão 1 : 2, cada segmento da figura original vira 2 segmentos na malha. Para reduzir na razão 2 : 1, cada 2 segmentos da original viram 1 segmento na figura nova.
Para linhas inclinadas (que não são horizontais nem verticais), use um truque: construa um retângulo com os vértices nas pontas do segmento, aplique a razão nas medidas desse retângulo e depois trace a nova linha ligando os vértices.
IMPORTANTE: quando ampliamos ou reduzimos, os perímetros mudam na mesma razão dos lados, mas as áreas mudam no quadrado dessa razão.
📐 Para guardar
Ampliação 1 : 2 → cada medida é multiplicada por 2
Redução 2 : 1 → cada medida é dividida por 2
Redução 3 : 2 → cada medida é multiplicada por 2 e dividida por 3
Exemplos
Joaninhas: se cada pinta da joaninha pequena tem 1 u.a. de área e a figura foi ampliada 1 : 2, cada pinta da grande tem 2 · 2 = 4 u.a. O perímetro da pinta pequena é 4 u e o da grande é 8 u (o dobro).
Quadrado com 12 cm de perímetro → lado = 12 : 4 = 3 cm. Reduzindo o lado a dois terços: 3 · 2/3 = 2 cm. Razão dos perímetros = 8 : 12 = 2/3; razão das áreas = 4 : 9 = (2/3)².
Retângulo ABCD de 15 cm × 9 cm reduzido na razão 3 : 2: cada lado é multiplicado por 2/3 → 10 cm × 6 cm. Área = 60 cm² e perímetro = 2 · (10 + 6) = 32 cm.
O que muda ao ampliar ou reduzir
Grandeza
Como muda
Exemplo (ampliação 1 : 2)
Medida dos lados
Multiplicada pela razão
3 cm → 6 cm
Perímetro
Multiplicado pela razão
12 cm → 24 cm
Área
Multiplicada pelo quadrado da razão
9 cm² → 36 cm² (4 vezes maior)
Formato (ângulos)
Não muda: a figura fica semelhante
Quadrado continua quadrado
6Análise de área e perímetro de retângulos
Conhecer só a área ou só o perímetro de um retângulo não é suficiente para descobrir a base e a altura. Existem vários retângulos diferentes com a mesma área ou com o mesmo perímetro.
Mas se você souber as duas informações juntas (área e perímetro), as dimensões ficam definidas.
Já no quadrado é diferente: como os quatro lados são iguais, basta saber a área OU o perímetro para achar o lado.
Por fim, em figuras semelhantes (uma é ampliação da outra): a razão entre os perímetros é igual à razão entre os lados, e a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.
📐 Para guardar
Razão entre perímetros = razão entre os lados (k)
Razão entre áreas = k²
Lado do quadrado a partir do perímetro: ℓ = P : 4
Área do quadrado a partir do lado: A = ℓ²
Exemplos
Retângulos com área 6 cm²: 1 × 6 (P = 14 cm), 2 × 3 (P = 10 cm). Mesma área, perímetros diferentes.
Quadrado com perímetro 14 cm: lado = 14 : 4 = 3,5 cm; área = 3,5 · 3,5 = 12,25 cm².
Dois quadrados, um de lado 2 cm e outro de lado 6 cm: razão dos lados = 2 : 6 = 1/3; razão dos perímetros = 8 : 24 = 1/3; razão das áreas = 4 : 36 = 1/9 = (1/3)².
Triplicar o lado de um quadrado: a área fica multiplicada por 3² = 9.
Cartão de visitas: papel com 6 dm² = 600 cm² e cartão com 37,5 cm². Razão das áreas = 600 : 37,5 = 16 = 4². Logo a razão dos perímetros é 4 (o perímetro do papel é 4 vezes o do cartão).
Peça de cerâmica que encolhe 20% nas dimensões lineares: cada lado fica com 80% (fator 0,8). A área fica com 0,8 · 0,8 = 0,64, ou seja, 64% da original. A redução é de 36% (alternativa c).
Quadros de 25 cm × 50 cm passando para 50 cm × 100 cm: a área da tela fica 4 vezes maior e a moldura 2 vezes maior, mas a taxa de entrega continua 10 reais. Por isso o valor é maior que o da primeira encomenda, mas não exatamente o dobro (alternativa b).
Retângulos com a mesma área ou o mesmo perímetro
Dimensões
Área
Perímetro
1 cm × 6 cm
6 cm²
14 cm
2 cm × 3 cm
6 cm²
10 cm
1 cm × 4 cm
4 cm²
10 cm
2 cm × 3 cm
6 cm²
10 cm
Razões em figuras semelhantes
Razão entre os lados
Razão entre os perímetros
Razão entre as áreas
1 : 2
1 : 2
1 : 4
1 : 3
1 : 3
1 : 9
2 : 3
2 : 3
4 : 9
k
k
k²
7Resumo final – Neste capítulo você estudou
Guarde os pontos principais para a prova: as unidades de área e suas conversões de 100 em 100, as três fórmulas de área (retângulo, quadrado e triângulo) e a relação entre área e perímetro em ampliações e reduções.
Lembre-se sempre de conferir se todas as medidas estão na mesma unidade antes de calcular. Esse é o erro mais comum nas provas.
📐 Para guardar
A(retângulo) = b · h
A(quadrado) = ℓ²
A(triângulo) = (b · h) : 2
Entre unidades de área vizinhas: × 100 ou ÷ 100
Razão das áreas = (razão dos lados)²
Exemplos
Doze janelas de 1,80 m × 1,20 m: área de uma janela = 2,16 m²; total = 12 · 2,16 = 25,92 m².
Casa com 5 janelas de 6 vãos de 30 cm × 45 cm, a R$ 120,00 o m² de vidro: área de um vão = 0,30 · 0,45 = 0,135 m²; total de vãos = 5 · 6 = 30; área total = 30 · 0,135 = 4,05 m²; custo = 4,05 · 120 = R$ 486,00.
Checklist de estudo
Conteúdo
Sei fazer?
Unidades padronizadas de área (km² a mm²)
Ler e escrever no quadro de medidas
Conversões
Multiplicar ou dividir por 100 a cada passo
Área do retângulo e do quadrado
b · h e ℓ²
Área do triângulo
(b · h) : 2
Área total de cubos e blocos
Somar a área de todas as faces
Ampliação e redução
Aplicar a razão nos lados
Relação área × perímetro
Perímetro na razão k, área na razão k²
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Unidades de medida de superfície e área em malhas
1Dissertativo
Medir uma superfície é comparar essa superfície com uma unidade de área. Quando a unidade escolhida não faz parte do sistema métrico (não é o cm² nem o m²), escrevemos o resultado usando a sigla u.a. Com suas palavras, explique o que significa dizer que uma figura tem 18 u.a. de área.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Significa que, dentro dessa figura, cabem 18 unidades de área escolhidas (por exemplo, 18 quadradinhos da malha). A sigla u.a. quer dizer unidade de área.
Resolução passo a passo
Medir uma superfície é comparar essa superfície com uma peça escolhida. Essa peça escolhida é a unidade de área.
Quando a peça não é o cm² nem o m² (por exemplo, é um quadradinho qualquer da malha), a gente escreve o resultado com a sigla u.a.
Então, dizer que a figura tem 18 u.a. é dizer: "essa figura é 18 vezes maior que o quadradinho que eu escolhi". Se o quadradinho valesse 1 cm², a área seria 18 cm²; se valesse outra coisa, o número 18 continuaria, mas a unidade mudaria.
2Múltipla escolha
Em uma malha quadriculada, cada quadradinho tem 1 cm de lado, ou seja, vale 1 cm² de área. Uma figura desenhada nessa malha cobre 14 quadradinhos inteiros e mais 6 metades de quadradinho. Qual é a área dessa figura?
Resposta
Alternativa b) 17 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: conte os quadradinhos inteiros. São 14, e cada um vale 1 cm². Isso dá 14 cm².
Passo 2: junte as metades. Duas metades formam 1 quadradinho inteiro. Como são 6 metades, temos 6 ÷ 2 = 3 quadradinhos inteiros, ou seja, 3 cm².
Passo 3: some tudo: 14 cm² + 3 cm² = 17 cm².
Resposta: alternativa b).
3Dissertativo
Considere cada quadrado de uma malha quadriculada como 1 u.a. Desenhe, em seu caderno, todos os retângulos de área 18 u.a. cujos lados tenham medidas inteiras e fiquem em cima das linhas da malha. Depois, escreva quantos retângulos diferentes você conseguiu.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
São 3 retângulos diferentes: 1 × 18, 2 × 9 e 3 × 6 (se você contar também os mesmos retângulos "deitados", aparecem 6 desenhos, mas só 3 formatos diferentes).
Resolução passo a passo
Passo 1: a área do retângulo é base × altura. Então precisamos de dois números inteiros que, multiplicados, deem 18.
Passo 2: procure os pares: 1 × 18 = 18, 2 × 9 = 18, 3 × 6 = 18. Depois disso os pares começam a se repetir (6 × 3, 9 × 2, 18 × 1 são os mesmos retângulos virados de lado).
Passo 3: desenhe na malha: um retângulo bem comprido de 1 quadradinho de altura e 18 de base; outro de 2 por 9; e outro de 3 por 6.
Conclusão: existem 3 retângulos diferentes com área de 18 u.a. e lados inteiros.
4Múltipla escolha
Um quadrado de 1 cm de lado foi dividido em 4 partes iguais e apenas 3 dessas partes foram pintadas de azul. Qual é a área da região azul?
Resposta
Alternativa c) 0,75 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: a área do quadrado é lado × lado = 1 cm × 1 cm = 1 cm².
Passo 2: ele foi dividido em 4 partes iguais. Cada parte vale 1 ÷ 4 = 0,25 cm².
Passo 3: foram pintadas 3 partes: 3 × 0,25 = 0,75 cm². Isso é o mesmo que 3/4 do quadrado.
Resposta: alternativa c).
5Dissertativo
Descreva, passo a passo, o procedimento que você usaria para descobrir a área de uma figura qualquer desenhada em uma malha quadriculada, inclusive quando a figura corta alguns quadradinhos ao meio.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Contar os quadradinhos inteiros, depois juntar as metades de dois em dois, somar tudo e escrever o resultado com a unidade de área correta.
Resolução passo a passo
Passo 1: descubra quanto vale um quadradinho da malha. Se o lado dele mede 1 cm, ele vale 1 cm². Se não soubermos a medida, ele vale 1 u.a.
Passo 2: conte todos os quadradinhos que estão inteiros dentro da figura. Vale marcar cada um com um pontinho para não contar duas vezes.
Passo 3: olhe os quadradinhos cortados. Quando a figura corta um quadradinho bem ao meio, cada pedaço vale meio quadradinho. Junte as metades de duas em duas: cada par forma 1 quadradinho inteiro.
Passo 4: some os inteiros com os que você formou juntando as metades. Escreva o resultado com a unidade certa, como 17 cm² ou 17 u.a.
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado, leitura e conversão
6Calcule
Efetue as conversões a seguir. a) 24,5 dam² em m² b) 7,2 m² em cm² c) 3,04 hm² em dam² d) 950 dm² em m²
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 2 450 m² b) 72 000 cm² c) 304 dam² d) 9,5 m²
Resolução passo a passo
Lembre da regra de ouro: nas medidas de área, cada "degrau" da escada vale 100 (e não 10, como no comprimento). Descendo a escada, multiplicamos por 100; subindo, dividimos por 100.
A ordem é: km² – hm² – dam² – m² – dm² – cm² – mm².
a) De dam² para m² é 1 degrau para baixo: 24,5 × 100 = 2 450 m².
b) De m² para cm² são 2 degraus para baixo (m² → dm² → cm²): 7,2 × 100 × 100 = 7,2 × 10 000 = 72 000 cm².
c) De hm² para dam² é 1 degrau para baixo: 3,04 × 100 = 304 dam².
d) De dm² para m² é 1 degrau para cima: 950 ÷ 100 = 9,5 m².
7Múltipla escolha
Ao passar de uma unidade de área para a unidade vizinha, o número é multiplicado ou dividido por 100. Quantos centímetros quadrados cabem em 1 metro quadrado?
Resposta
Alternativa c) 10 000 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: de m² até cm² passamos por duas unidades: m² → dm² → cm². São 2 degraus para baixo.
Passo 2: cada degrau multiplica por 100. Então: 1 × 100 × 100 = 10 000.
Passo 3: dá para conferir desenhando: um quadrado de 1 m de lado tem 100 cm de lado, e 100 × 100 = 10 000 cm².
Resposta: alternativa c).
8Dissertativo
Escreva como se lê cada medida a seguir, usando o quadro de unidades de área. a) 45,09 m² b) 0,8 dam² c) 130,5 hm²
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) "quarenta e cinco metros quadrados e nove decímetros quadrados"; b) "oitenta metros quadrados" (ou oito décimos de decâmetro quadrado); c) "cento e trinta hectômetros quadrados e cinquenta decâmetros quadrados".
Resolução passo a passo
Regra importante: na leitura de área, cada unidade ocupa duas casas decimais no quadro. Por isso completamos com zero quando falta uma casa.
a) 45,09 m²: a parte inteira é 45 m²; as duas casas 09 formam 9 dm². Lemos: quarenta e cinco metros quadrados e nove decímetros quadrados.
b) 0,8 dam² = 0,80 dam². As duas casas 80 valem 80 m². Lemos: oitenta metros quadrados (também vale ler oito décimos de decâmetro quadrado).
c) 130,5 hm² = 130,50 hm². A parte inteira é 130 hm² e as casas 50 valem 50 dam². Lemos: cento e trinta hectômetros quadrados e cinquenta decâmetros quadrados.
9Calcule
Efetue as operações e dê o resultado em m². a) 32,4 m² + 260 dm² b) 5,6 dam² − 180 m² c) 2,5 hm² + 0,03 km² d) 3,5 m² − 4 500 cm²
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 35 m² b) 380 m² c) 55 000 m² d) 3,05 m²
Resolução passo a passo
Regra: só podemos somar ou subtrair medidas que estão na mesma unidade. Então primeiro convertemos tudo para m².
a) 260 dm² ÷ 100 = 2,6 m². Agora: 32,4 + 2,6 = 35 m².
b) 5,6 dam² × 100 = 560 m². Agora: 560 − 180 = 380 m².
c) 2,5 hm² = 2,5 × 100 × 100 = 25 000 m². E 0,03 km² = 0,03 × 100 × 100 × 100 = 30 000 m². Somando: 25 000 + 30 000 = 55 000 m².
d) 4 500 cm² ÷ 10 000 = 0,45 m². Agora: 3,5 − 0,45 = 3,05 m².
10Verdadeiro ou falso
Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F).
a)1 dm² é 100 vezes maior que 1 cm².
b)1 km² corresponde a 100 000 m².
c)Para transformar dam² em m², multiplicamos por 100.
d)250 mm² é o mesmo que 2,5 cm².
Resposta
a) V b) F c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeira. Um quadrado de 1 dm de lado tem 10 cm de lado, e 10 × 10 = 100. Logo, 1 dm² = 100 cm².
b) Falsa. De km² até m² são 3 degraus: 100 × 100 × 100 = 1 000 000. Então 1 km² = 1 000 000 m², e não 100 000 m².
c) Verdadeira. De dam² para m² descemos 1 degrau, e cada degrau vale 100.
Passo 3: o aplicativo deve mostrar 8 hm². (Curiosidade: 1 hm² é o mesmo que 1 hectare, medida muito usada para terrenos e fazendas.)
Resposta: alternativa b).
Área de quadrados e retângulos
12Calcule
Calcule, em m², a área de um retângulo que tem 30 dm de base e 5 dm de altura.
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Resposta
1,5 m²
Resolução passo a passo
Passo 1: passe as medidas para metros, porque a resposta é pedida em m². Como 10 dm = 1 m, temos 30 dm = 3 m e 5 dm = 0,5 m.
Passo 2: use a fórmula da área do retângulo: A = base × altura.
Passo 3: A = 3 × 0,5 = 1,5 m².
Conferindo pelo outro caminho: 30 × 5 = 150 dm², e 150 ÷ 100 = 1,5 m². Deu igual!
13Calcule
Em um retângulo, a soma das medidas da base e da altura é 20 m. Sabendo que a altura mede 7,5 m, qual é a área desse retângulo, em m²?
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Resposta
93,75 m²
Resolução passo a passo
Passo 1: a soma da base com a altura é 20 m e a altura é 7,5 m. Então a base é 20 − 7,5 = 12,5 m.
Passo 2: aplique A = base × altura: A = 12,5 × 7,5.
Passo 3: 12,5 × 7,5 = 93,75.
Resposta: a área é 93,75 m².
14Calcule
Determine as áreas nas unidades pedidas entre parênteses. a) Um quadrado com 9 m de lado (em m²). b) Um quadrado com 50 cm de lado (em cm²). c) Um quadrado com 50 cm de lado (em m²). d) Um retângulo de 2 m por 40 cm (em m²).
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Resposta
a) 81 m² b) 2 500 cm² c) 0,25 m² d) 0,8 m²
Resolução passo a passo
A área do quadrado é A = ℓ × ℓ, e a do retângulo é A = base × altura.
a) A = 9 × 9 = 81 m².
b) A = 50 × 50 = 2 500 cm².
c) O mesmo quadrado em m²: 50 cm = 0,5 m, então A = 0,5 × 0,5 = 0,25 m². (Confere: 2 500 ÷ 10 000 = 0,25.)
d) 40 cm = 0,4 m. Então A = 2 × 0,4 = 0,8 m².
15Múltipla escolha
Quantos ladrilhos quadrados de 20 cm de lado são necessários para revestir o piso de um quarto retangular de 4 m por 3 m?
Resposta
Alternativa c) 300 ladrilhos
Resolução passo a passo
Passo 1: calcule a área do quarto: 4 × 3 = 12 m².
Passo 2: coloque tudo na mesma unidade. 12 m² = 12 × 10 000 = 120 000 cm².
Passo 3: calcule a área de 1 ladrilho: 20 × 20 = 400 cm².
Passo 4: divida: 120 000 ÷ 400 = 300 ladrilhos.
Resposta: alternativa c).
16Calcule
Uma caixa tem a forma de um cubo com 4 cm de aresta. Determine a área total da superfície dessa caixa, ou seja, a soma das áreas de todas as suas faces.
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Resposta
96 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: o cubo tem 6 faces, e todas são quadrados iguais de 4 cm de lado.
Passo 2: área de uma face: 4 × 4 = 16 cm².
Passo 3: a área total é a soma das 6 faces: 6 × 16 = 96 cm².
17Calcule
Um restaurante quer colocar vidro em 4 janelas. Cada janela tem 3 vãos retangulares de 40 cm × 50 cm. Sabendo que o vidro custa R$ 150,00 o metro quadrado, quanto será gasto no total?
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Resposta
R$ 360,00
Resolução passo a passo
Passo 1: área de um vão: 40 × 50 = 2 000 cm².
Passo 2: passe para m²: 2 000 ÷ 10 000 = 0,2 m².
Passo 3: conte os vãos: 4 janelas × 3 vãos = 12 vãos. Área total de vidro: 12 × 0,2 = 2,4 m².
Explique, com suas palavras, por que a fórmula da área do quadrado pode ser escrita como A = ℓ · ℓ, sendo ℓ a medida do lado, mesmo o quadrado sendo um caso particular de retângulo.
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Resposta
Porque o quadrado é um retângulo com base e altura iguais; trocando os dois valores pela mesma letra ℓ, a fórmula A = base × altura vira A = ℓ · ℓ.
Resolução passo a passo
Passo 1: todo retângulo tem 4 ângulos retos. Se, além disso, os quatro lados forem iguais, ele ganha um nome especial: quadrado.
Passo 2: no retângulo usamos A = base × altura. No quadrado, a base e a altura têm a mesma medida, que chamamos de ℓ (lado).
Passo 3: então basta trocar as duas letras por ℓ: A = ℓ · ℓ. Esse produto também pode ser escrito como ℓ².
Exemplo: um quadrado de 5 cm de lado tem área 5 × 5 = 25 cm², exatamente como um retângulo de 5 cm por 5 cm.
Área de triângulos
19Calcule
Calcule a área de um triângulo com: a) 12 cm de base e 5 cm de altura; b) 8 m de base e 4,5 m de altura; c) 30 cm de base e 20 cm de altura (dê a resposta em cm² e também em dm²).
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Resposta
a) 30 cm² b) 18 m² c) 300 cm² = 3 dm²
Resolução passo a passo
A área do triângulo é A = (base × altura) ÷ 2, porque dois triângulos iguais formam um retângulo.
a) A = (12 × 5) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm².
b) A = (8 × 4,5) ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 m².
c) A = (30 × 20) ÷ 2 = 600 ÷ 2 = 300 cm². Para passar a dm², dividimos por 100: 300 ÷ 100 = 3 dm².
20Múltipla escolha
Um triângulo tem a mesma área de um quadrado de 10 cm de lado. Se a altura desse triângulo mede 20 cm, qual é a medida de sua base?
Resposta
Alternativa b) 10 cm
Resolução passo a passo
Passo 1: área do quadrado: 10 × 10 = 100 cm². O triângulo tem essa mesma área.
Passo 2: escreva a fórmula do triângulo: (base × 20) ÷ 2 = 100.
Passo 3: multiplique os dois lados por 2: base × 20 = 200.
Passo 4: divida por 20: base = 200 ÷ 20 = 10 cm.
Resposta: alternativa b).
21Dissertativo
Em um retângulo ABCD de 10 m × 6 m foi traçada a diagonal AC. Qual é a área do triângulo ABC? Explique por que a área desse triângulo é metade da área do retângulo.
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Resposta
A área do triângulo ABC é 30 m², ou seja, metade dos 60 m² do retângulo.
Resolução passo a passo
Passo 1: calcule a área do retângulo: 10 × 6 = 60 m².
Passo 2: a diagonal AC divide o retângulo em dois triângulos, ABC e ACD. Esses dois triângulos são iguais (dá para recortar um e encaixar perfeitamente no outro).
Passo 3: como os dois juntos formam o retângulo inteiro, cada um vale metade: 60 ÷ 2 = 30 m².
Passo 4: conferindo pela fórmula: A = (10 × 6) ÷ 2 = 30 m². É exatamente daí que vem o "dividido por 2" na fórmula do triângulo.
22Verdadeiro ou falso
Três triângulos foram desenhados entre duas retas paralelas r e s. Todos têm a base apoiada na reta s e o vértice de cima apoiado na reta r. As bases medem 6 cm, 3 cm e 6 cm. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F).
a)Os três triângulos têm alturas de mesma medida.
b)O primeiro e o terceiro triângulos têm a mesma área.
c)A área do segundo triângulo é a metade da área do primeiro.
d)Os três triângulos têm a mesma medida de superfície.
Resposta
a) V b) V c) V d) F
Resolução passo a passo
a) Verdadeira. A distância entre duas retas paralelas é sempre a mesma. Como as bases estão em s e os vértices em r, as três alturas têm a mesma medida.
b) Verdadeira. O primeiro e o terceiro têm base 6 cm e a mesma altura, então têm a mesma área.
c) Verdadeira. A base do segundo (3 cm) é a metade da base do primeiro (6 cm) e a altura é igual. Como a área depende de base × altura ÷ 2, a área também fica pela metade.
d) Falsa. "Medida de superfície" é o mesmo que área, e o segundo triângulo tem área menor que os outros dois.
23Múltipla escolha
Dentro de um quadrado de 6 cm de lado, foi desenhado um triângulo com base igual a um dos lados do quadrado e vértice em um ponto do lado oposto. Qual é a área da parte do quadrado que ficou fora do triângulo?
Resposta
Alternativa b) 18 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: área do quadrado: 6 × 6 = 36 cm².
Passo 2: o triângulo tem base igual a um lado do quadrado (6 cm) e o vértice no lado oposto, então a altura dele é a própria distância entre os dois lados: 6 cm.
Passo 3: área do triângulo: (6 × 6) ÷ 2 = 18 cm².
Passo 4: a parte de fora é o que sobra: 36 − 18 = 18 cm².
Resposta: alternativa b).
Ampliação e redução de figuras planas
24Calcule
O retângulo ABCD tem 12 cm de base e 8 cm de altura. Determine a área e o perímetro do retângulo MNPQ, que é uma ampliação de ABCD na razão 1 : 2.
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Resposta
Área = 384 cm² e perímetro = 80 cm.
Resolução passo a passo
Passo 1: entenda a razão 1 : 2. Ela diz que cada 1 cm da figura original vira 2 cm na figura nova. Ou seja, todas as medidas dobram.
Passo 2: novas medidas: base 12 × 2 = 24 cm e altura 8 × 2 = 16 cm.
Passo 3: área: 24 × 16 = 384 cm².
Passo 4: perímetro (soma dos quatro lados): 2 × (24 + 16) = 2 × 40 = 80 cm.
Observe uma coisa legal: o perímetro dobrou (de 40 para 80 cm), mas a área ficou 4 vezes maior (de 96 para 384 cm²).
25Múltipla escolha
Um retângulo de 15 cm × 10 cm passou por uma redução na razão 5 : 1. Quais são as medidas dos lados da figura reduzida?
Resposta
Alternativa a) 3 cm × 2 cm
Resolução passo a passo
Passo 1: a razão 5 : 1 significa que cada 5 cm da figura original viram 1 cm na figura nova. Então dividimos as medidas por 5.
Passo 2: 15 ÷ 5 = 3 cm e 10 ÷ 5 = 2 cm.
Passo 3: a figura reduzida mede 3 cm × 2 cm.
Resposta: alternativa a).
26Dissertativo
Em uma malha quadriculada de 1 cm × 1 cm, desenhe um quadrado com 16 cm de perímetro. Depois, desenhe uma redução desse quadrado na razão 2 : 1. Em seguida, responda: qual é a razão entre os perímetros dos dois quadrados? E entre as áreas?
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Resposta
O quadrado original tem lado 4 cm e o reduzido tem lado 2 cm. A razão entre os perímetros é 2 : 1 e a razão entre as áreas é 4 : 1.
Resolução passo a passo
Passo 1: se o perímetro é 16 cm, o lado é 16 ÷ 4 = 4 cm. Desenhe na malha um quadrado de 4 quadradinhos por 4 quadradinhos.
Passo 2: a razão 2 : 1 manda dividir as medidas por 2. Então o quadrado reduzido tem lado 2 cm (2 quadradinhos por 2 quadradinhos).
Passo 3: perímetros: 16 cm e 4 × 2 = 8 cm. A razão é 16 : 8 = 2 : 1 (igual à razão dos lados).
Passo 4: áreas: 4 × 4 = 16 cm² e 2 × 2 = 4 cm². A razão é 16 : 4 = 4 : 1, que é 2 : 1 multiplicado por ele mesmo. A área muda mais rápido que o perímetro!
27Múltipla escolha
Uma figura foi desenhada em uma malha e depois ampliada na razão 1 : 3. Uma pinta quadrada da figura original tinha 1 u.a. de área. Qual é a área dessa mesma pinta na figura ampliada?
Resposta
Alternativa c) 9 u.a.
Resolução passo a passo
Passo 1: a razão 1 : 3 faz cada medida ficar 3 vezes maior. O lado da pinta passa de 1 para 3 unidades.
Passo 2: a nova área é 3 × 3 = 9 u.a.
Passo 3: guarde a ideia: quando os lados são multiplicados por 3, a área é multiplicada por 3 × 3 = 9.
Resposta: alternativa c).
28Dissertativo
Explique a técnica usada para ampliar, em uma malha quadriculada, um segmento de reta que não é horizontal nem vertical (um segmento inclinado). Use como exemplo uma ampliação na razão 1 : 2.
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Resposta
Contamos quantos quadradinhos o segmento anda na horizontal e quantos anda na vertical; depois dobramos os dois números e traçamos o novo segmento.
Resolução passo a passo
Passo 1: olhe as duas pontas do segmento inclinado. Do ponto de partida até o ponto de chegada, conte quantos quadradinhos você anda para o lado e quantos anda para cima (ou para baixo).
Passo 2: suponha que o segmento anda 3 quadradinhos para a direita e 2 para cima. Esse par de números é como uma "receita" do segmento.
Passo 3: na razão 1 : 2, multiplicamos os dois números por 2: 3 × 2 = 6 para a direita e 2 × 2 = 4 para cima.
Passo 4: marque o novo ponto de partida, ande 6 quadradinhos para a direita e 4 para cima, marque a chegada e ligue os dois pontos com a régua. O novo segmento fica com a mesma inclinação e o dobro do comprimento.
Relações entre área e perímetro de figuras
29Calcule
Uma sala retangular tem 24 m² de área e sua largura mede 4 m. a) Qual é a medida do comprimento dessa sala? b) Quantos metros de rodapé são necessários para contornar toda a sala (sem descontar a porta)?
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Resposta
a) 6 m b) 20 m de rodapé
Resolução passo a passo
a) A área do retângulo é comprimento × largura. Então comprimento = área ÷ largura = 24 ÷ 4 = 6 m.
b) O rodapé contorna a sala, ou seja, precisamos do perímetro (a soma de todos os lados).
Perímetro = 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 m. São necessários 20 metros de rodapé.
30Calcule
Determine o perímetro de um quadrado que tem 49 m² de área.
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Resposta
28 m
Resolução passo a passo
Passo 1: no quadrado, A = ℓ × ℓ. Procuramos o número que, multiplicado por ele mesmo, dá 49.
Passo 2: 7 × 7 = 49, então o lado mede 7 m.
Passo 3: o perímetro é a soma dos 4 lados: 4 × 7 = 28 m.
31Múltipla escolha
Ao dobrar a medida do lado de um quadrado, sua área fica multiplicada por qual número?
Resposta
Alternativa b) 4
Resolução passo a passo
Passo 1: pegue um exemplo fácil. Quadrado de lado 3 cm: área = 3 × 3 = 9 cm².
Passo 2: dobre o lado: 6 cm. Nova área = 6 × 6 = 36 cm².
Passo 3: compare: 36 ÷ 9 = 4. A área ficou 4 vezes maior.
Isso sempre acontece: se o lado é multiplicado por 2, a área é multiplicada por 2 × 2 = 4. Resposta: alternativa b).
32Verdadeiro ou falso
Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F).
a)Conhecendo apenas a área de um retângulo, sempre é possível descobrir as medidas da base e da altura.
b)Conhecendo apenas o perímetro de um quadrado, é possível descobrir a medida do seu lado.
c)A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão entre seus lados.
d)A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual à razão entre os lados.
Resposta
a) F b) V c) V d) F
Resolução passo a passo
a) Falsa. Um retângulo de 12 cm² pode ser 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4... Só a área não é suficiente para decidir os lados.
b) Verdadeira. Como os quatro lados do quadrado são iguais, basta dividir o perímetro por 4.
c) Verdadeira. O perímetro é uma soma de lados; se todos os lados são multiplicados pelo mesmo número, o perímetro também é.
d) Falsa. A razão entre as áreas é a razão entre os lados multiplicada por ela mesma. Se os lados estão na razão 1 : 3, as áreas ficam na razão 1 : 9.
33Dissertativo
Dois quadrados têm lados de 3 cm e 12 cm. Calcule os perímetros e as áreas dos dois quadrados. Depois, escreva a razão entre os lados, a razão entre os perímetros e a razão entre as áreas. O que você percebe?
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Resposta
Perímetros: 12 cm e 48 cm. Áreas: 9 cm² e 144 cm². Razão entre lados = 1 : 4; razão entre perímetros = 1 : 4; razão entre áreas = 1 : 16.
Resolução passo a passo
Passo 1: quadrado pequeno (lado 3 cm): perímetro = 4 × 3 = 12 cm e área = 3 × 3 = 9 cm².
Passo 2: quadrado grande (lado 12 cm): perímetro = 4 × 12 = 48 cm e área = 12 × 12 = 144 cm².
Passo 3: razão entre os lados: 3 : 12, que simplificando dá 1 : 4.
Passo 4: razão entre os perímetros: 12 : 48 = 1 : 4 (a mesma dos lados). Razão entre as áreas: 9 : 144 = 1 : 16.
Conclusão: o perímetro cresce na mesma razão dos lados, mas a área cresce na razão dos lados multiplicada por ela mesma (4 × 4 = 16).
34Múltipla escolha
Um cartaz retangular tem 8 dm² de área. Uma versão reduzida dele, usada como adesivo, tem 50 cm² de área e é uma redução exata do cartaz. Qual é a razão entre o perímetro do cartaz e o perímetro do adesivo?
Resposta
Alternativa b) 4 : 1
Resolução passo a passo
Passo 1: deixe as áreas na mesma unidade: 8 dm² = 8 × 100 = 800 cm².
Passo 2: razão entre as áreas: 800 : 50 = 16 : 1.
Passo 3: a razão entre as áreas é a razão dos lados multiplicada por ela mesma. Procuramos o número que, vezes ele mesmo, dá 16: é o 4, pois 4 × 4 = 16.
Passo 4: então os lados estão na razão 4 : 1 e os perímetros também, porque o perímetro segue a razão dos lados. Resposta: 4 : 1, alternativa b).
35Calcule
Uma peça de argila tem base retangular de 40 cm por 20 cm. Depois de assada no forno, todas as medidas dos lados diminuem 10%. Calcule a área da base antes e depois do cozimento e diga qual foi a redução da área, em porcentagem.
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Resposta
Antes: 800 cm². Depois: 648 cm². A área diminuiu 152 cm², ou seja, 19%.
Resolução passo a passo
Passo 1: área antes de assar: 40 × 20 = 800 cm².
Passo 2: diminua 10% de cada lado. 10% de 40 é 4, então 40 − 4 = 36 cm. E 10% de 20 é 2, então 20 − 2 = 18 cm.
Passo 3: área depois de assar: 36 × 18 = 648 cm².
Passo 4: quanto diminuiu? 800 − 648 = 152 cm².
Passo 5: transforme em porcentagem: 152 ÷ 800 = 0,19 = 19%. Repare: os lados encolheram 10%, mas a área encolheu bem mais, 19%.
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Capítulo 14 – Medidas de superfície, ampliação e redução de figuras (Unidade 4: Pediu, calculou, chegou!)
Resumo rápido
Capítulo 14 – Medidas de superfície, ampliação e redução de figuras (Unidade 4: Pediu, calculou, chegou!)
Resumo rápido
1O que é área
Medir é comparar. Quando medimos uma superfície (a parte de dentro de uma figura plana), chamamos o resultado de área.
Para medir a área, usamos como unidade um quadradinho de lado 1. A área é o número de vezes que esse quadradinho cabe dentro da figura.
Se a unidade for um quadrado qualquer, sem ligação com o metro, escrevemos u.a. (unidade de área).
Exemplo
Uma figura desenhada numa malha cobre 12 quadradinhos de 1 cm de lado. Então sua área é 12 cm².
2Unidades de medida de superfície
A unidade padrão de área é o metro quadrado (m²): a superfície de um quadrado com 1 m de lado.
Do mesmo jeito, 1 cm² é o quadrado de 1 cm de lado e 1 dm² é o quadrado de 1 dm de lado.
2.1Múltiplos e submúltiplos do m²
Do maior para o menor, as unidades são: km², hm², dam², m², dm², cm², mm².
Atenção: aqui cada unidade vale 100 vezes a unidade seguinte (e não 10, como no comprimento). Isso acontece porque, ao medir área, o lado é multiplicado por ele mesmo.
📐 Para guardar
1 dm² = 100 cm²
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm²
1 km² = 1 000 000 m²
Exemplo
Um quadrado de 1 dm de lado tem 10 cm por 10 cm, ou seja, 100 quadradinhos de 1 cm².
2.2Mudança de unidade (conversão)
Para descer uma casa na lista (ex.: de m² para dm²), multiplique por 100.
Para subir uma casa (ex.: de cm² para dm²), divida por 100. Cada pulo é sempre ×100 ou :100.
📐 Para guardar
descer 1 unidade: × 100
subir 1 unidade: : 100
Exemplo
3,723 m² em cm²: são 2 pulos para baixo → 3,723 × 100 × 100 = 37 230 cm².
2.3Leitura das medidas
No quadro de medidas de área, cada unidade ocupa dois algarismos (menos a parte inteira, que pode ter um só). As colunas que faltam são completadas com zeros.
Exemplo
23,68 m² lê-se: vinte e três metros quadrados e sessenta e oito decímetros quadrados.
3Área do retângulo e do quadrado
A área do retângulo é o produto da medida da base pela medida da altura. Isso funciona porque a base diz quantos quadradinhos cabem em cada linha e a altura diz quantas linhas existem.
O quadrado é um retângulo com base e altura iguais, por isso multiplicamos o lado por ele mesmo.
Cuidado: as duas medidas devem estar na mesma unidade antes de multiplicar.
📐 Para guardar
A_retângulo = b · h
A_quadrado = ℓ · ℓ = ℓ²
Exemplo
Retângulo de base 4 cm e altura 2 cm: A = 4 · 2 = 8 cm².
3.1Área total de sólidos de faces retangulares
Para achar a área total de um cubo ou de uma caixa (bloco retangular), calculamos a área de cada face e somamos todas.
No cubo, as 6 faces são quadrados iguais.
📐 Para guardar
A_total do cubo = 6 · ℓ²
Exemplo
Cubo de 5 cm de aresta: A = 6 · 5² = 6 · 25 = 150 cm².
4Área do triângulo
Todo triângulo cabe dentro de um retângulo que tem a mesma base e a mesma altura que ele. A área do retângulo é o dobro da área do triângulo.
Por isso, multiplicamos base por altura e dividimos por 2. A altura é a distância do vértice até a base, medida em linha perpendicular (formando ângulo reto).
Triângulos com bases iguais e alturas iguais têm sempre a mesma área, mesmo com formatos diferentes.
📐 Para guardar
A_triângulo = (b · h) / 2
Exemplo
Triângulo com base 4 cm e altura 9 cm: A = (4 · 9) : 2 = 18 cm².
5Ampliação e redução de figuras
Ampliar é multiplicar todas as medidas da figura pelo mesmo número; reduzir é dividir todas elas pelo mesmo número. A forma continua a mesma: dizemos que as figuras são semelhantes.
Indicamos a transformação por uma razão. 1 : 2 significa que cada 1 unidade da figura original virou 2 unidades na figura nova (ampliação). 2 : 1 significa que cada 2 unidades viraram 1 (redução).
Na malha quadriculada, basta contar os quadradinhos de cada segmento e aplicar a razão. Para linhas inclinadas, desenhamos um retângulo com vértices nas pontas do segmento, ampliamos esse retângulo e traçamos a nova diagonal.
Exemplo
Retângulo de 15 cm × 9 cm reduzido na razão 3 : 2: cada 3 cm viram 2 cm, logo o novo retângulo mede 10 cm × 6 cm.
6Relação entre área e perímetro
O perímetro é a soma das medidas de todos os lados (o contorno da figura).
Em figuras semelhantes, a razão entre os perímetros é igual à razão entre os lados. Já a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.
Outro ponto importante: saber só a área (ou só o perímetro) não define um retângulo, pois vários retângulos diferentes podem ter a mesma área. No quadrado isso não acontece, porque todos os lados são iguais.
📐 Para guardar
razão entre perímetros = razão entre os lados = k
razão entre áreas = k²
P_retângulo = 2·(b + h); P_quadrado = 4·ℓ
Exemplo
Quadrados de 2 cm e 6 cm de lado: razão dos lados 2:6 = 1/3; razão dos perímetros 8:24 = 1/3; razão das áreas 4:36 = 1/9 = (1/3)².
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Exercícios
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Unidades de medida de superfície e área em malhas
1Múltipla escolha
Em uma malha quadriculada, cada quadradinho tem 1 cm de lado, ou seja, vale 1 cm² de área. Uma figura desenhada nessa malha cobre 14 quadradinhos inteiros e mais 6 metades de quadradinho. Qual é a área dessa figura?
Resposta
Alternativa b) 17 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: conte os quadradinhos inteiros. São 14, e cada um vale 1 cm². Isso dá 14 cm².
Passo 2: junte as metades. Duas metades formam 1 quadradinho inteiro. Como são 6 metades, temos 6 ÷ 2 = 3 quadradinhos inteiros, ou seja, 3 cm².
Passo 3: some tudo: 14 cm² + 3 cm² = 17 cm².
Resposta: alternativa b).
2Dissertativo
Considere cada quadrado de uma malha quadriculada como 1 u.a. Desenhe, em seu caderno, todos os retângulos de área 18 u.a. cujos lados tenham medidas inteiras e fiquem em cima das linhas da malha. Depois, escreva quantos retângulos diferentes você conseguiu.
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Resposta
São 3 retângulos diferentes: 1 × 18, 2 × 9 e 3 × 6 (se você contar também os mesmos retângulos "deitados", aparecem 6 desenhos, mas só 3 formatos diferentes).
Resolução passo a passo
Passo 1: a área do retângulo é base × altura. Então precisamos de dois números inteiros que, multiplicados, deem 18.
Passo 2: procure os pares: 1 × 18 = 18, 2 × 9 = 18, 3 × 6 = 18. Depois disso os pares começam a se repetir (6 × 3, 9 × 2, 18 × 1 são os mesmos retângulos virados de lado).
Passo 3: desenhe na malha: um retângulo bem comprido de 1 quadradinho de altura e 18 de base; outro de 2 por 9; e outro de 3 por 6.
Conclusão: existem 3 retângulos diferentes com área de 18 u.a. e lados inteiros.
Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado, leitura e conversão
3Calcule
Efetue as conversões a seguir. a) 24,5 dam² em m² b) 7,2 m² em cm² c) 3,04 hm² em dam² d) 950 dm² em m²
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Resposta
a) 2 450 m² b) 72 000 cm² c) 304 dam² d) 9,5 m²
Resolução passo a passo
Lembre da regra de ouro: nas medidas de área, cada "degrau" da escada vale 100 (e não 10, como no comprimento). Descendo a escada, multiplicamos por 100; subindo, dividimos por 100.
A ordem é: km² – hm² – dam² – m² – dm² – cm² – mm².
a) De dam² para m² é 1 degrau para baixo: 24,5 × 100 = 2 450 m².
b) De m² para cm² são 2 degraus para baixo (m² → dm² → cm²): 7,2 × 100 × 100 = 7,2 × 10 000 = 72 000 cm².
c) De hm² para dam² é 1 degrau para baixo: 3,04 × 100 = 304 dam².
d) De dm² para m² é 1 degrau para cima: 950 ÷ 100 = 9,5 m².
4Calcule
Efetue as operações e dê o resultado em m². a) 32,4 m² + 260 dm² b) 5,6 dam² − 180 m² c) 2,5 hm² + 0,03 km² d) 3,5 m² − 4 500 cm²
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 35 m² b) 380 m² c) 55 000 m² d) 3,05 m²
Resolução passo a passo
Regra: só podemos somar ou subtrair medidas que estão na mesma unidade. Então primeiro convertemos tudo para m².
a) 260 dm² ÷ 100 = 2,6 m². Agora: 32,4 + 2,6 = 35 m².
b) 5,6 dam² × 100 = 560 m². Agora: 560 − 180 = 380 m².
c) 2,5 hm² = 2,5 × 100 × 100 = 25 000 m². E 0,03 km² = 0,03 × 100 × 100 × 100 = 30 000 m². Somando: 25 000 + 30 000 = 55 000 m².
d) 4 500 cm² ÷ 10 000 = 0,45 m². Agora: 3,5 − 0,45 = 3,05 m².
5Verdadeiro ou falso
Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F).
a)1 dm² é 100 vezes maior que 1 cm².
b)1 km² corresponde a 100 000 m².
c)Para transformar dam² em m², multiplicamos por 100.
d)250 mm² é o mesmo que 2,5 cm².
Resposta
a) V b) F c) V d) V
Resolução passo a passo
a) Verdadeira. Um quadrado de 1 dm de lado tem 10 cm de lado, e 10 × 10 = 100. Logo, 1 dm² = 100 cm².
b) Falsa. De km² até m² são 3 degraus: 100 × 100 × 100 = 1 000 000. Então 1 km² = 1 000 000 m², e não 100 000 m².
c) Verdadeira. De dam² para m² descemos 1 degrau, e cada degrau vale 100.
Passo 3: o aplicativo deve mostrar 8 hm². (Curiosidade: 1 hm² é o mesmo que 1 hectare, medida muito usada para terrenos e fazendas.)
Resposta: alternativa b).
Área de quadrados e retângulos
7Calcule
Em um retângulo, a soma das medidas da base e da altura é 20 m. Sabendo que a altura mede 7,5 m, qual é a área desse retângulo, em m²?
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Resposta
93,75 m²
Resolução passo a passo
Passo 1: a soma da base com a altura é 20 m e a altura é 7,5 m. Então a base é 20 − 7,5 = 12,5 m.
Passo 2: aplique A = base × altura: A = 12,5 × 7,5.
Passo 3: 12,5 × 7,5 = 93,75.
Resposta: a área é 93,75 m².
8Múltipla escolha
Quantos ladrilhos quadrados de 20 cm de lado são necessários para revestir o piso de um quarto retangular de 4 m por 3 m?
Resposta
Alternativa c) 300 ladrilhos
Resolução passo a passo
Passo 1: calcule a área do quarto: 4 × 3 = 12 m².
Passo 2: coloque tudo na mesma unidade. 12 m² = 12 × 10 000 = 120 000 cm².
Passo 3: calcule a área de 1 ladrilho: 20 × 20 = 400 cm².
Passo 4: divida: 120 000 ÷ 400 = 300 ladrilhos.
Resposta: alternativa c).
9Calcule
Um restaurante quer colocar vidro em 4 janelas. Cada janela tem 3 vãos retangulares de 40 cm × 50 cm. Sabendo que o vidro custa R$ 150,00 o metro quadrado, quanto será gasto no total?
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Resposta
R$ 360,00
Resolução passo a passo
Passo 1: área de um vão: 40 × 50 = 2 000 cm².
Passo 2: passe para m²: 2 000 ÷ 10 000 = 0,2 m².
Passo 3: conte os vãos: 4 janelas × 3 vãos = 12 vãos. Área total de vidro: 12 × 0,2 = 2,4 m².
Calcule a área de um triângulo com: a) 12 cm de base e 5 cm de altura; b) 8 m de base e 4,5 m de altura; c) 30 cm de base e 20 cm de altura (dê a resposta em cm² e também em dm²).
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Resposta
a) 30 cm² b) 18 m² c) 300 cm² = 3 dm²
Resolução passo a passo
A área do triângulo é A = (base × altura) ÷ 2, porque dois triângulos iguais formam um retângulo.
a) A = (12 × 5) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm².
b) A = (8 × 4,5) ÷ 2 = 36 ÷ 2 = 18 m².
c) A = (30 × 20) ÷ 2 = 600 ÷ 2 = 300 cm². Para passar a dm², dividimos por 100: 300 ÷ 100 = 3 dm².
11Dissertativo
Em um retângulo ABCD de 10 m × 6 m foi traçada a diagonal AC. Qual é a área do triângulo ABC? Explique por que a área desse triângulo é metade da área do retângulo.
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Resposta
A área do triângulo ABC é 30 m², ou seja, metade dos 60 m² do retângulo.
Resolução passo a passo
Passo 1: calcule a área do retângulo: 10 × 6 = 60 m².
Passo 2: a diagonal AC divide o retângulo em dois triângulos, ABC e ACD. Esses dois triângulos são iguais (dá para recortar um e encaixar perfeitamente no outro).
Passo 3: como os dois juntos formam o retângulo inteiro, cada um vale metade: 60 ÷ 2 = 30 m².
Passo 4: conferindo pela fórmula: A = (10 × 6) ÷ 2 = 30 m². É exatamente daí que vem o "dividido por 2" na fórmula do triângulo.
12Múltipla escolha
Dentro de um quadrado de 6 cm de lado, foi desenhado um triângulo com base igual a um dos lados do quadrado e vértice em um ponto do lado oposto. Qual é a área da parte do quadrado que ficou fora do triângulo?
Resposta
Alternativa b) 18 cm²
Resolução passo a passo
Passo 1: área do quadrado: 6 × 6 = 36 cm².
Passo 2: o triângulo tem base igual a um lado do quadrado (6 cm) e o vértice no lado oposto, então a altura dele é a própria distância entre os dois lados: 6 cm.
Passo 3: área do triângulo: (6 × 6) ÷ 2 = 18 cm².
Passo 4: a parte de fora é o que sobra: 36 − 18 = 18 cm².
Resposta: alternativa b).
Ampliação e redução de figuras planas
13Calcule
O retângulo ABCD tem 12 cm de base e 8 cm de altura. Determine a área e o perímetro do retângulo MNPQ, que é uma ampliação de ABCD na razão 1 : 2.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Área = 384 cm² e perímetro = 80 cm.
Resolução passo a passo
Passo 1: entenda a razão 1 : 2. Ela diz que cada 1 cm da figura original vira 2 cm na figura nova. Ou seja, todas as medidas dobram.
Passo 2: novas medidas: base 12 × 2 = 24 cm e altura 8 × 2 = 16 cm.
Passo 3: área: 24 × 16 = 384 cm².
Passo 4: perímetro (soma dos quatro lados): 2 × (24 + 16) = 2 × 40 = 80 cm.
Observe uma coisa legal: o perímetro dobrou (de 40 para 80 cm), mas a área ficou 4 vezes maior (de 96 para 384 cm²).
14Múltipla escolha
Uma figura foi desenhada em uma malha e depois ampliada na razão 1 : 3. Uma pinta quadrada da figura original tinha 1 u.a. de área. Qual é a área dessa mesma pinta na figura ampliada?
Resposta
Alternativa c) 9 u.a.
Resolução passo a passo
Passo 1: a razão 1 : 3 faz cada medida ficar 3 vezes maior. O lado da pinta passa de 1 para 3 unidades.
Passo 2: a nova área é 3 × 3 = 9 u.a.
Passo 3: guarde a ideia: quando os lados são multiplicados por 3, a área é multiplicada por 3 × 3 = 9.
Resposta: alternativa c).
Relações entre área e perímetro de figuras
15Calcule
Uma sala retangular tem 24 m² de área e sua largura mede 4 m. a) Qual é a medida do comprimento dessa sala? b) Quantos metros de rodapé são necessários para contornar toda a sala (sem descontar a porta)?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 6 m b) 20 m de rodapé
Resolução passo a passo
a) A área do retângulo é comprimento × largura. Então comprimento = área ÷ largura = 24 ÷ 4 = 6 m.
b) O rodapé contorna a sala, ou seja, precisamos do perímetro (a soma de todos os lados).
Perímetro = 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 m. São necessários 20 metros de rodapé.
16Múltipla escolha
Ao dobrar a medida do lado de um quadrado, sua área fica multiplicada por qual número?
Resposta
Alternativa b) 4
Resolução passo a passo
Passo 1: pegue um exemplo fácil. Quadrado de lado 3 cm: área = 3 × 3 = 9 cm².
Passo 2: dobre o lado: 6 cm. Nova área = 6 × 6 = 36 cm².
Passo 3: compare: 36 ÷ 9 = 4. A área ficou 4 vezes maior.
Isso sempre acontece: se o lado é multiplicado por 2, a área é multiplicada por 2 × 2 = 4. Resposta: alternativa b).
17Múltipla escolha
Um cartaz retangular tem 8 dm² de área. Uma versão reduzida dele, usada como adesivo, tem 50 cm² de área e é uma redução exata do cartaz. Qual é a razão entre o perímetro do cartaz e o perímetro do adesivo?
Resposta
Alternativa b) 4 : 1
Resolução passo a passo
Passo 1: deixe as áreas na mesma unidade: 8 dm² = 8 × 100 = 800 cm².
Passo 2: razão entre as áreas: 800 : 50 = 16 : 1.
Passo 3: a razão entre as áreas é a razão dos lados multiplicada por ela mesma. Procuramos o número que, vezes ele mesmo, dá 16: é o 4, pois 4 × 4 = 16.
Passo 4: então os lados estão na razão 4 : 1 e os perímetros também, porque o perímetro segue a razão dos lados. Resposta: 4 : 1, alternativa b).
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