Capítulo 11 – Números decimais e porcentagem (Unidade 3: Correndo contra o tempo)
Resumo completo
Capítulo 11 – Números decimais e porcentagem (Unidade 3: Correndo contra o tempo)
Resumo completo
1Abertura: por que estudar números decimais?
Em provas de atletismo, como os 100 metros rasos, tudo acontece em cerca de 10 segundos. A diferença entre o primeiro e o segundo colocado pode ser de apenas milésimos de segundo.
Nos Jogos Olímpicos de Paris (2024), Noah Lyles venceu com 9,784 s e Kishane Thompson ficou com a prata com 9,789 s. A diferença foi de só 5 milésimos!
Os números decimais são os números que usam vírgula. Eles servem para medir com muita precisão: tempo, altura, temperatura, dinheiro e distâncias.
Neste capítulo você vai ligar frações a números decimais e aprender a calcular porcentagens, que aparecem em promoções de lojas, taxas de banco e resultados de pesquisas.
Exemplos
Comparando os tempos da final olímpica: 9,784 < 9,789. Como as partes inteiras são iguais (9) e os décimos e centésimos também (7 e 8), olhamos os milésimos: 4 < 9. Logo, Lyles foi mais rápido e ganhou o ouro.
Onde encontramos números decimais no dia a dia
Situação
Exemplo de número decimal
Preço no mercado
R$ 3,75
Altura de uma pessoa
1,52 m
Tempo em uma corrida
9,784 s
Temperatura do corpo
36,5 °C
Massa de um alimento
0,250 kg
2Frações decimais
Fração decimal é toda fração cujo denominador (o número de baixo) é uma potência de 10: 10, 100, 1 000, 10 000...
Cada uma tem um nome especial na leitura: 3/10 lê-se "três décimos", 5/100 lê-se "cinco centésimos" e 7/1000 lê-se "sete milésimos".
O expoente do 10 precisa ser um número natural diferente de zero. Se o expoente for zero, temos 10⁰ = 1, e a fração vira um número inteiro: 3/10⁰ = 3/1 = 3.
Muitas frações que não são decimais podem virar decimais usando frações equivalentes: basta multiplicar em cima e embaixo pelo mesmo número até o denominador virar 10, 100 ou 1 000.
Transformar 1/2 em fração decimal: multiplico numerador e denominador por 5 → (1·5)/(2·5) = 5/10. Logo, 1/2 = 5/10.
Transformar 3/4 em fração decimal: multiplico por 25 → (3·25)/(4·25) = 75/100. Logo, 3/4 = 75/100.
Transformar 7/125 em fração decimal: 125 · 8 = 1 000, então multiplico por 8 → (7·8)/(125·8) = 56/1000.
Denominador 250: 250 · 4 = 1 000. Então o menor denominador decimal possível é 1 000.
Denominador 9: 9 = 3 · 3. Como 3 não é 2 nem 5, NÃO existe fração decimal equivalente.
Frações equivalentes a frações decimais
Fração
Multiplico por
Fração decimal
1/2
5
5/10
4/5
2
8/10
3/4
25
75/100
6/20
5
30/100
12/25
4
48/100
43/50
2
86/100
5/8
125
625/1000
15/40
25
375/1000
7/125
8
56/1000
152/200
5
760/1000
Leitura das frações decimais
Fração
Potência de 10
Lê-se
3/10
10¹
três décimos
5/100
10²
cinco centésimos
7/1000
10³
sete milésimos
3Notação decimal
Nosso sistema de numeração é posicional: o valor de cada algarismo depende do lugar onde ele está. Cada posição vale uma potência de 10.
Por exemplo, em 53 020, o 5 vale 50 000 (dezenas de milhar) e o 2 vale 20 (dezenas).
Para escrever números menores que 1, os matemáticos criaram a vírgula. Ela separa a parte inteira (antes da vírgula) da parte decimal (depois da vírgula).
A 1ª casa depois da vírgula são os décimos, a 2ª são os centésimos, a 3ª são os milésimos, e assim por diante.
Podemos "enxergar" os decimais com um cubo que representa 1 inteiro (a unidade).
Se cortamos esse cubo em 10 fatias iguais, cada fatia é 1 décimo (0,1). Se cortamos em 100 pedaços, cada um é 1 centésimo (0,01). Em 1 000 pedacinhos, cada um é 1 milésimo (0,001).
Fração própria é a fração menor que 1 inteiro (como 7/10); nela a parte inteira do decimal é zero. Fração imprópria é a fração maior que 1 inteiro (como 3145/1000); nela aparece parte inteira diferente de zero.
6.1Transformando uma fração NÃO decimal em número decimal (método da Laila)
Quando a fração não tem denominador 10, 100 ou 1 000, usamos um truque: fatorar o denominador, ou seja, escrevê-lo como multiplicação de números primos.
Depois, multiplicamos em cima e embaixo pelos fatores que faltam para formar 10 (lembre: 2 · 5 = 10).
Regra de ouro: se o denominador fatorado só tiver os fatores 2 e 5, dá para transformar em fração decimal. Se aparecer qualquer outro fator (3, 7, 11...), não dá.
Quais têm fração decimal equivalente entre 1/7, 1/16, 1/12 e 1/5? Resposta: 1/16 (16 = 2·2·2·2) e 1/5. Não dá com 1/7 (fator 7) nem 1/12 (12 = 2·2·3, tem o fator 3).
Dá ou não dá para virar fração decimal?
Fração
Denominador fatorado
Só tem 2 e 5?
Vira decimal exato?
1/7
7
Não
Não
1/16
2·2·2·2
Sim
Sim (0,0625)
1/12
2·2·3
Não
Não
1/5
5
Sim
Sim (0,2)
2/25
5·5
Sim
Sim (0,08)
Relacionando frações e decimais
Fração
Número decimal
121/10
12,1
1/2
0,5
15/8
1,875
75/1000
0,075
1/4
0,25
12 e 1/100
12,01
1875/10000
0,1875
7Os números decimais na reta numérica
Todo número decimal tem um lugar certo na reta numérica. Primeiro descobrimos entre quais inteiros ele fica; depois dividimos esse pedaço em partes iguais.
Para localizar um número com uma casa decimal, dividimos o espaço entre dois inteiros em 10 partes iguais. Cada parte vale 0,1.
Se o número tiver duas casas, dividimos de novo cada décimo em 10 partes (cada uma vale 0,01). Para três casas, dividimos o centésimo em 10 (cada uma vale 0,001).
Duas coisas importantes: na reta, os números crescem no sentido da seta (da esquerda para a direita); e entre dois números decimais sempre existem outros números decimais.
0,4 está entre 0 e 1: conto 4 traços depois do zero (cada traço = 1/10).
23 décimos = 2,3 e está entre 2 e 3.
Localizando 1,653: (1) entre 1 e 2, ando 6 décimos → entre 1,6 e 1,7; (2) entre 1,6 e 1,7, ando 5 centésimos → entre 1,65 e 1,66; (3) entre 1,65 e 1,66, ando 3 milésimos → chego em 1,653.
Zoom na reta numérica para achar 1,653
Etapa
Divido
Cada parte vale
Fico entre
1ª
A unidade em 10 partes
0,1
1,6 e 1,7
2ª
O décimo em 10 partes
0,01
1,65 e 1,66
3ª
O centésimo em 10 partes
0,001
1,653 (ponto exato)
8Comparação entre números decimais
Comparar dois decimais é descobrir se são iguais ou qual é o maior. Na reta numérica, o maior é o que está mais à direita.
Primeiro passo: olhe a parte inteira. Quem tem a parte inteira maior é o maior número. Exemplo: 5,16 > 4,18.
Segundo passo: se as partes inteiras forem iguais, iguale o número de casas decimais acrescentando zeros à direita e compare. Exemplo: 3,7 vira 3,70; como 70 < 78, temos 3,70 < 3,78.
Cuidado com uma armadilha! Em números naturais, quem tem mais algarismos é maior. Em decimais isso nem sempre é verdade: 0,9 é maior que 0,12345.
📐 Para guardar
Outro jeito: transformar em frações de mesmo denominador. Ex.: 2,4 = 24/10 = 240/100 e 2,25 = 225/100. Como 240/100 > 225/100, então 2,4 > 2,25.
1,4 = 1,40 (acrescentar zero à direita não muda o valor).
2,06 < 2,16 e 0,5 < 0,56.
Maior de cada grupo: entre 3,105; 4,2100; 0,15; 21,4; 18,3451; 12,04 e 5,0 o maior é 21,4. Entre 1,05; 1,120; 1,5; 1,12; 1,202; 1,51 e 1,4320 o maior é 1,51.
Alturas: Luciano (1,52 m) é o mais alto e Daniel (1,26 m) é o mais baixo.
Passo a passo para comparar decimais
Passo
O que fazer
Exemplo
1
Compare as partes inteiras
5,16 > 4,18 porque 5 > 4
2
Se forem iguais, iguale as casas decimais com zeros
3,7 = 3,70 e 3,78
3
Compare as partes decimais como se fossem naturais
70 < 78, logo 3,70 < 3,78
Comparações resolvidas
Números
Sinal
Motivo
6,10346 e 7,1
<
Parte inteira menor
16,0007 e 16,007
<
0007 < 0070
0,0001 e 0,00001
>
00010 > 00001
2,01 e 2,0012
>
0100 > 0012
3,0004 e 3,0400
<
0004 < 0400
200,6 e 20,07
>
200 > 20
1,4 e 1,40
=
Zero à direita não muda
9Noções de porcentagem
Porcentagem quer dizer "por cento", ou seja, "em cada 100". O símbolo é %.
Quando alguém diz que 30% dos alunos usam óculos, isso significa: se a turma tivesse 100 alunos, 30 usariam óculos.
Toda porcentagem pode virar uma fração centesimal (fração com denominador 100) e também um número decimal. Por exemplo: 30% = 30/100 = 0,3.
Para calcular uma porcentagem de um valor, escrevemos a porcentagem como fração de 100 e multiplicamos pelo valor.
📐 Para guardar
x% = x/100
x% de N = (x/100) · N
Também dá para usar o fator decimal: 30% de N = 0,30 · N
Manchete '40% dos brasileiros começam o ano endividados': 40/100 = 4/10 = 400/1000. Ou seja, a cada 10 brasileiros, 4 começam endividados; a cada 1 000, são 400.
10% de 500 + 25% de 500 + 2% de 500 = 50 + 125 + 10 = 185. E 37% de 500 = 185. Conclusão: como 10% + 25% + 2% = 37%, os resultados são iguais!
A quarta parte de um valor corresponde a 25% dele. 50% é o mesmo que 1/2 e 75% é o mesmo que 3/4.
Atalhos de cálculo mental
Porcentagem
Fração centesimal
Fração irredutível
Conclusão
50%
50/100
1/2
Dividir o total por 2 (metade)
25%
25/100
1/4
Dividir o total por 4 (quarta parte)
20%
20/100
1/5
Dividir o total por 5 (quinta parte)
10%
10/100
1/10
Dividir o total por 10
1%
1/100
1/100
Dividir o total por 100
75%
75/100
3/4
Dividir por 4 e multiplicar por 3 (ou 50% + 25%)
Tabela de porcentagens de alguns valores
Quantidade
1%
5%
10%
20%
25%
50%
100%
800
8
40
80
160
200
400
800
3 500
35
175
350
700
875
1 750
3 500
60
0,6
3
6
12
15
30
60
200
2
10
20
40
50
100
200
11Resolução de problemas com porcentagem
Os problemas de porcentagem costumam aparecer em três formatos: aumento, desconto e descobrir a porcentagem.
No aumento, calculamos o valor do acréscimo e somamos ao valor inicial. No desconto, calculamos o valor do abatimento e subtraímos do valor inicial.
Quando queremos descobrir quantos por cento uma parte representa do total, montamos a fração parte/total, transformamos em fração centesimal (ou dividimos a parte pelo total) e lemos o resultado em %.
Um jeito prático é usar o fator decimal: 20% vira 0,20; então 0,20 · valor dá o acréscimo ou o desconto.
📐 Para guardar
Valor final com aumento = valor inicial + (x% · valor inicial)
Valor final com desconto = valor inicial − (x% · valor inicial)
Porcentagem = (parte ÷ total) transformada em fração de denominador 100
Exemplos
AUMENTO: mensalidade de R$ 650,00 com aumento de 20%. Acréscimo: (20/100)·650 = 130. Nova mensalidade: 650 + 130 = R$ 780,00.
DESCONTO: bicicleta de R$ 1 400,00 com 20% de desconto à vista. Desconto: (20/100)·1400 = 280. Preço à vista: 1400 − 280 = R$ 1 120,00.
PORCENTAGEM: vestido custa R$ 180,00 a prazo e R$ 117,00 à vista. Desconto = 180 − 117 = 63. Fração: 63/180 = 7/20 = 35/100 = 35%.
PORCENTAGEM: 5 reais é quantos por cento de 8 reais? 5 ÷ 8 = 0,625 = 62,5/100 = 62,5%.
Fatura de R$ 600,00 e Jane pagou R$ 240,00: 240/600 = 4/10 = 40/100 = 40% da fatura.
Fogão de R$ 1 800,00 com 12% de desconto: desconto = 0,12 · 1800 = R$ 216,00; preço pago = 1800 − 216 = R$ 1 584,00.
Ouro 18 quilates: fração de ouro puro = 18/24 = 3/4 = 75/100 = 75% de ouro puro.
Terreno de R$ 200 000,00 com valorização de 15% ao ano: acréscimo = 0,15 · 200 000 = 30 000; valor após 1 ano = R$ 230 000,00.
Academia com 680 alunos: 45% à noite, 40% à tarde, restam 15% pela manhã → 0,15 · 680 = 102 alunos de manhã. Noite: 0,45·680 = 306; tarde: 0,40·680 = 272; diferença = 306 − 272 = 34 alunos.
Aumentos sobre R$ 650,00 usando o fator decimal
Porcentagem de aumento
Fator decimal
Valor do acréscimo
Valor final
35%
0,35
0,35 · 650 = 227,50
650 + 227,50 = 877,50
4%
0,04
0,04 · 650 = 26,00
650 + 26 = 676,00
80%
0,80
0,80 · 650 = 520,00
650 + 520 = 1 170,00
1000%
10
10 · 650 = 6 500,00
650 + 6 500 = 7 150,00
Descontos sobre R$ 1 400,00 usando o fator decimal
Porcentagem de desconto
Fator decimal
Valor do desconto
Valor final
30%
0,30
0,30 · 1400 = 420,00
1400 − 420 = 980,00
20%
0,20
0,20 · 1400 = 280,00
1400 − 280 = 1 120,00
1%
0,01
0,01 · 1400 = 14,00
1400 − 14 = 1 386,00
4,5%
0,045
0,045 · 1400 = 63,00
1400 − 63 = 1 337,00
Três tipos de problema
Tipo
O que se procura
Como resolver
Aumento
Valor final maior
Calcule x% do valor e SOME
Desconto
Valor final menor
Calcule x% do valor e SUBTRAIA
Achar a %
Quantos por cento
Divida parte ÷ total e escreva como fração de 100
12Explore seus conhecimentos e Mergulhando fundo (questões comentadas)
Aqui aparecem exercícios que juntam tudo: transformar frações em decimais, comparar números e calcular porcentagens.
Uma dica de ouro para comparar frações com decimais: transforme todos para a mesma forma (de preferência decimal). Assim a comparação fica fácil.
Em questões de desconto, lembre que pagar com x% de desconto é o mesmo que pagar (100 − x)% do preço. Por isso, 15% de desconto = multiplicar por 0,85.
E atenção aos descontos em sequência: eles são aplicados um sobre o resultado do outro, nunca somados direto.
📐 Para guardar
Preço com x% de desconto = preço · (1 − x/100)
15% de desconto → multiplicar por 0,85
Exemplos
Mistura de cereais: 2/5 = 0,4 (aveia); 1/4 = 0,25 (flocos de milho); 0,25 (fibra de trigo); 0,1 (coco ralado). Maior quantidade: aveia (0,4). Menor: coco ralado (0,1). Frações irredutíveis: 0,25 = 1/4 (fibra de trigo) e 0,1 = 1/10 (coco ralado).
Diego: gastou 170 + 30 + 120 = 320 e tinha 400. Sobrou 400 − 320 = 80 para o telefone. Porcentagem: 80/400 = 20/100 = 20%.
Gráfico dos transportes: total = 2500 + 1500 + 4000 + 2000 = 10 000. A pé = 4000/10000 = 40%; ônibus = 25%; carro = 1500/10000 = 15%. Alternativa correta: (d) 15% dos alunos vão de carro.
MERGULHANDO FUNDO 1: 14 t = 14 000 kg; 37% de 14 000 = 0,37 · 14 000 = 5 180 kg de alumínio. Arrecadação = 5 180 · 0,70 = R$ 3 626,00. Alternativa (b).
MERGULHANDO FUNDO 2: com 15% de desconto paga-se 85% do preço, ou seja, o preço deve ser multiplicado por 0,85. Alternativa (c).
MERGULHANDO FUNDO 3: produto de R$ 50,00 com 20% abaixo → 50 · 0,80 = R$ 40,00. O cartão fidelidade dá mais 10% sobre R$ 40,00 → 0,10 · 40 = R$ 4,00 de economia adicional. Alternativa (e).
Comparando os ingredientes da mistura de cereais
Ingrediente
Quantidade dada
Em decimal
Posição
Aveia
2/5
0,4
Maior
Flocos de milho
1/4
0,25
Empate em 2º
Fibra de trigo
0,25
0,25
Empate em 2º
Coco ralado
0,1
0,1
Menor
Alturas dos alunos em ordem
Aluno
Altura (m)
Posição
Luciano
1,52
1º (mais alto)
Marcos
1,50
2º
João
1,45
3º
Paulo
1,33
4º
Daniel
1,26
5º (mais baixo)
13Resumo: neste capítulo você estudou
Este é o checklist para revisar antes da prova. Confira se você sabe explicar cada item com suas palavras.
Se travar em algum ponto, volte à seção correspondente e refaça os exemplos.
📐 Para guardar
Fração decimal: denominador é potência de 10
Decimal → fração: tire a vírgula e ponha 1 + zeros iguais às casas decimais
x% = x/100
x% de N = (x/100) · N
Exemplos
Teste-se: escreva 0,45 como fração (45/100), diga como se lê 2,307 (dois inteiros e trezentos e sete milésimos) e calcule 25% de 80 (80 ÷ 4 = 20).
Checklist de estudo
Conteúdo
Sei explicar?
Fração decimal e notação decimal
( )
Representação geométrica de decimais
( )
Transformar decimal em fração e fração em decimal
( )
Comparação e ordem nos decimais
( )
Noções de porcentagem
( )
Cálculo de 100%, 50%, 25%, 10% e 1%
( )
Porcentagem como fração e como decimal
( )
Problemas de aumento e desconto
( )
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Frações decimais
1Dissertativo
Uma fração decimal é aquela que tem no denominador uma potência de 10, como 10, 100 ou 1 000. Observe as frações abaixo e escreva quais delas são frações decimais.
3/10 5/7 19/100 8/9 241/1000 6/25
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
São frações decimais: 3/10, 19/100 e 241/1000.
Resolução passo a passo
Uma fração decimal é a fração que tem no denominador (o número de baixo) uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1 000, 10 000...
Agora é só olhar o denominador de cada uma:
3/10 → o denominador é 10. É fração decimal. 5/7 → o denominador é 7. Não é potência de 10. 19/100 → o denominador é 100. É fração decimal. 8/9 → o denominador é 9. Não é potência de 10. 241/1000 → o denominador é 1 000. É fração decimal. 6/25 → o denominador é 25. Não é potência de 10.
Cuidado com uma pegadinha: 6/25 não é fração decimal, mas ela tem uma equivalente que é (24/100). O que vale aqui é como a fração está escrita.
2Calcule
Complete os numeradores que estão faltando para que as igualdades entre frações equivalentes fiquem verdadeiras.
a) 1/5 = ___/10 b) 3/2 = ___/10 c) 9/20 = ___/100 d) 13/50 = ___/100 e) 3/8 = ___/1000 f) 21/250 = ___/1000
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 2 b) 15 c) 45 d) 26 e) 375 f) 84
Resolução passo a passo
Para achar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Primeiro descubro por quanto o denominador foi multiplicado.
a) 5 × 2 = 10, então 1 × 2 = 2. Logo, 1/5 = 2/10.
b) 2 × 5 = 10, então 3 × 5 = 15. Logo, 3/2 = 15/10.
c) 20 × 5 = 100, então 9 × 5 = 45. Logo, 9/20 = 45/100.
Converse com um colega e responda: uma fração com denominador 500 pode ser transformada em fração decimal? Qual seria o menor denominador possível dessa fração decimal? Justifique sua resposta.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Sim, pode. O menor denominador possível é 1 000, porque 500 × 2 = 1 000.
Resolução passo a passo
Vamos testar as potências de 10, da menor para a maior, e ver qual delas é múltiplo de 500.
10 não serve: 10 é menor que 500. 100 também não: 100 não é múltiplo de 500.
Agora 1 000: 500 × 2 = 1 000. Deu certo! Basta multiplicar o numerador e o denominador por 2.
Exemplo: 7/500 = 14/1000 = 0,014.
Outra forma de pensar é fatorar: 500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5. Falta só mais um fator 2 para virar 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 1 000. Por isso o menor denominador é 1 000.
4Múltipla escolha
Qual das frações a seguir NÃO possui uma fração decimal equivalente?
Resposta
Alternativa c) 4/15.
Resolução passo a passo
Uma fração só tem equivalente decimal quando, ao fatorar o denominador, aparecem apenas os fatores 2 e 5. Isso acontece porque 10 = 2 × 5.
a) 40 = 2 × 2 × 2 × 5 → só 2 e 5. Tem equivalente: 7/40 = 175/1000 = 0,175.
b) 16 = 2 × 2 × 2 × 2 → só 2. Tem equivalente: 5/16 = 3125/10000 = 0,3125.
c) 15 = 3 × 5 → apareceu o fator 3, que não é 2 nem 5. Não dá para chegar a uma potência de 10.
d) 125 = 5 × 5 × 5 → só 5. Tem equivalente: 9/125 = 72/1000 = 0,072.
Portanto, a fração que NÃO possui fração decimal equivalente é 4/15.
Notação decimal
5Calcule
Escreva cada fração decimal usando a notação decimal (com vírgula).
a) 9/10 b) 4/100 c) 76/100 d) 305/1000
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 0,9 b) 0,04 c) 0,76 d) 0,305
Resolução passo a passo
Na notação decimal, a quantidade de zeros do denominador diz quantas casas ficam depois da vírgula.
a) 9/10 → o 10 tem 1 zero, então 1 casa decimal: 0,9.
b) 4/100 → o 100 tem 2 zeros, então 2 casas: escrevo o 4 e completo com zero à esquerda: 0,04.
c) 76/100 → 2 zeros, 2 casas: 0,76.
d) 305/1000 → o 1 000 tem 3 zeros, então 3 casas: 0,305.
6Dissertativo
Registre os números que você encontrou no exercício anterior em um quadro de valores com as colunas: Parte inteira, Décimos, Centésimos e Milésimos.
Repare no número 0,04: não há décimos, por isso o zero ocupa aquela casa. E em 0,305 não há centésimos, por isso o zero fica no meio. Esses zeros são importantes: eles seguram o lugar de cada algarismo.
7Múltipla escolha
No número 47 des0,9... Observe o número 0,08. Ele representa:
Resposta
Alternativa b) 8 centésimos.
Resolução passo a passo
No número 0,08, vou contar as casas depois da vírgula.
Primeira casa: 0 (décimos). Segunda casa: 8 (centésimos).
Como o algarismo 8 está na segunda casa, ele vale 8 centésimos, ou seja, 8/100.
Se fosse 0,8, aí sim seriam 8 décimos. E 0,008 seriam 8 milésimos.
8Dissertativo
Escreva a decomposição do número 62 407 em potências de 10, como no exemplo: 53 020 = 50 000 + 3 000 + 20.
Escreva a fração imprópria 4 236/1000 na forma decimal. Depois, mostre a decomposição dela, como no exemplo do capítulo: 3 145/1000 = 3 + 1/10 + 4/100 + 5/1000
Imagine que um cubo grande representa 1 unidade, uma placa representa 1 décimo e uma barrinha representa 1 centésimo. Um aluno montou: 3 cubos, 5 placas e 7 barrinhas. Que número ele representou?
As outras opções estão erradas porque mudam a posição dos algarismos: em 3,075 o 7 estaria nos centésimos e o 5 nos milésimos; em 35,7 tudo virou parte inteira; em 0,357 não há unidades.
11Dissertativo
Usando os mesmos materiais (quadrado = unidade, retângulo = décimo, quadradinho = centésimo), desenhe ou descreva por escrito como você representaria os números 2,13 e 0,46.
Lembre das peças: o quadrado grande vale 1 unidade, o retângulo vale 1 décimo (0,1) e o quadradinho vale 1 centésimo (0,01).
Para 2,13: a parte inteira é 2, então pinto 2 quadrados grandes inteiros. O algarismo 1 está nos décimos, então uso 1 retângulo. O algarismo 3 está nos centésimos, então uso 3 quadradinhos.
Conferindo: 2 + 0,1 + 0,03 = 2,13.
Para 0,46: a parte inteira é 0, então nenhum quadrado fica pintado por inteiro. O 4 está nos décimos → 4 retângulos. O 6 está nos centésimos → 6 quadradinhos.
Conferindo: 0,4 + 0,06 = 0,46. Ou seja, num quadrado dividido em 100 partes, pinto 46 quadradinhos.
12Calcule
Escreva as seguintes frações em notação decimal.
a) 23/10 b) 1 508/100 c) 7 049/1000 d) 90/1000
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Resposta
a) 2,3 b) 15,08 c) 7,049 d) 0,09 (ou 0,090)
Resolução passo a passo
A regra é sempre a mesma: conto os zeros do denominador e ando essa quantidade de casas com a vírgula, da direita para a esquerda.
a) 23/10 → 1 zero → 1 casa → 2,3.
b) 1 508/100 → 2 zeros → 2 casas → 15,08.
c) 7 049/1000 → 3 zeros → 3 casas → 7,049.
d) 90/1000 → 3 zeros → 3 casas → 0,090. Como o zero está no fim da parte decimal, ele pode ser retirado: 0,09.
Leitura de um número decimal
13Dissertativo
Escreva como são lidos os números a seguir, usando a linguagem matemática.
a) 5,74 b) 120,6 c) 0,0092 d) 8,305
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Resposta
a) cinco inteiros e setenta e quatro centésimos; b) cento e vinte inteiros e seis décimos; c) noventa e dois décimos de milésimo; d) oito inteiros e trezentos e cinco milésimos.
Resolução passo a passo
Para ler um decimal, leio a parte inteira, digo inteiros, leio a parte decimal como se fosse um número inteiro e termino com o nome da última casa depois da vírgula.
a) 5,74 → parte inteira 5; parte decimal 74; última casa = centésimos → cinco inteiros e setenta e quatro centésimos.
b) 120,6 → parte inteira 120; parte decimal 6; última casa = décimos → cento e vinte inteiros e seis décimos.
c) 0,0092 → parte inteira 0 (não preciso falar); parte decimal 92; são 4 casas, e a quarta casa é a dos décimos de milésimo → noventa e dois décimos de milésimo.
d) 8,305 → parte inteira 8; parte decimal 305; última casa = milésimos → oito inteiros e trezentos e cinco milésimos.
14Calcule
Escreva na notação decimal os números abaixo.
a) Trinta e sete milésimos b) Nove inteiros e cinco centésimos c) Cento e vinte e três décimos de milésimos d) Quatro inteiros e oito décimos
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Resposta
a) 0,037 b) 9,05 c) 0,0123 d) 4,8
Resolução passo a passo
O nome da casa diz quantos algarismos devem ficar depois da vírgula: décimos = 1 casa, centésimos = 2 casas, milésimos = 3 casas, décimos de milésimo = 4 casas.
a) Trinta e sete milésimos = 37/1000 → 3 casas → 0,037 (coloquei um zero na frente do 37 para completar).
b) Nove inteiros e cinco centésimos = 9 + 5/100 → 2 casas → 9,05.
c) Cento e vinte e três décimos de milésimos = 123/10000 → 4 casas → 0,0123.
d) Quatro inteiros e oito décimos = 4 + 8/10 → 1 casa → 4,8.
15Dissertativo
Considere o número 7 204,315 e responda.
a) Qual é o algarismo da ordem dos centésimos? b) Qual é o algarismo da ordem das unidades de milhar? c) Qual é o algarismo da ordem dos décimos? d) Como se lê esse número?
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Resposta
a) 1 b) 7 c) 3 d) Sete mil, duzentos e quatro inteiros e trezentos e quinze milésimos.
a) O algarismo dos centésimos é a segunda casa depois da vírgula: 1.
b) O algarismo das unidades de milhar é o primeiro da esquerda: 7.
c) O algarismo dos décimos é a primeira casa depois da vírgula: 3.
d) Leio a parte inteira (7 204), digo inteiros, leio a parte decimal (315) e termino com o nome da última casa (milésimos): sete mil, duzentos e quatro inteiros e trezentos e quinze milésimos.
16Múltipla escolha
O tempo de um atleta nos 100 metros rasos foi de 9,807 segundos. A leitura correta desse número é:
Resposta
Alternativa b) nove inteiros e oitocentos e sete milésimos.
Resolução passo a passo
No número 9,807 a parte inteira é 9 e a parte decimal é 807.
Conto as casas depois da vírgula: 8 (décimos), 0 (centésimos), 7 (milésimos). São 3 casas, então a última é a dos milésimos.
Leio a parte decimal como número inteiro: oitocentos e sete. Junto tudo: nove inteiros e oitocentos e sete milésimos.
A letra a erra na casa (diz centésimos), a c esquece o zero e a d muda a parte inteira.
Frações e números decimais
17Calcule
Transforme os números decimais a seguir em frações decimais.
a) 0,7 b) 4,29 c) 0,0061 d) 15,004
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Resposta
a) 7/10 b) 429/100 c) 61/10000 d) 15 004/1000
Resolução passo a passo
Para transformar um decimal em fração decimal, escrevo o número sem a vírgula no numerador e, no denominador, o 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas depois da vírgula.
a) 0,7 → 1 casa → denominador 10 → 7/10.
b) 4,29 → 2 casas → denominador 100 → 429/100.
c) 0,0061 → 4 casas → denominador 10 000 → o número sem vírgula é 0061, ou seja, 61 → 61/10000.
Julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação e corrija as falsas.
a)0,3 = 0,30 = 0,300
b)0,5 é menor que 0,50
c)Acrescentar zeros à direita da parte decimal muda o valor do número
d)2,60 e 2,6 representam a mesma quantidade
Resposta
a) V b) F (são iguais) c) F (não muda o valor) d) V
Resolução passo a passo
A ideia principal é: zeros colocados à direita da parte decimal não mudam o valor do número.
a) (V) 0,3 = 3/10 = 30/100 = 300/1000, ou seja, 0,3 = 0,30 = 0,300.
b) (F) 0,5 e 0,50 são iguais, pois 5/10 = 50/100. A correção é: 0,5 é igual a 0,50.
c) (F) Acrescentar zeros à direita da parte decimal NÃO muda o valor. Correção: acrescentar zeros à direita da parte decimal mantém o mesmo valor. (Já acrescentar zeros entre a vírgula e os algarismos, como em 0,05, muda tudo!)
d) (V) 2,60 = 2 + 60/100 = 2 + 6/10 = 2,6. São a mesma quantidade.
19Calcule
Use o método de Laila (fatorar o denominador e completar até formar potências de 10) e transforme cada fração em fração decimal e em número decimal.
a) 1/4 b) 3/5 c) 7/8 d) 11/40
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Resposta
a) 1/4 = 25/100 = 0,25 b) 3/5 = 6/10 = 0,6 c) 7/8 = 875/1000 = 0,875 d) 11/40 = 275/1000 = 0,275
Resolução passo a passo
O método é fatorar o denominador e completar com os fatores que faltam para chegar a uma potência de 10.
a) 4 = 2 × 2. Falta 5 × 5 = 25 para virar 100. Multiplico em cima e embaixo por 25: (1 × 25)/(4 × 25) = 25/100 = 0,25.
b) 5 já é metade de 10. Multiplico por 2: (3 × 2)/(5 × 2) = 6/10 = 0,6.
c) 8 = 2 × 2 × 2. Falta 5 × 5 × 5 = 125 para virar 1 000. Multiplico por 125: (7 × 125)/(8 × 125) = 875/1000 = 0,875.
Agora ligo cada resultado na ordem em que aparecem os parênteses: 0,75 é E; 2,31 é A; 0,045 é D; 1,125 é C; 0,5 é B.
Os números decimais na reta numérica
22Dissertativo
Desenhe uma reta numérica de 0 a 3 e divida cada unidade em 10 partes iguais. Depois, marque os números 0,6; 1,4; 2,3 e 2,9.
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Resposta
0,6 fica no 6º tracinho depois do 0; 1,4 no 4º depois do 1; 2,3 no 3º depois do 2; e 2,9 no 9º depois do 2 (bem perto do 3).
Resolução passo a passo
Primeiro desenho uma reta e marco os inteiros 0, 1, 2 e 3, sempre com a mesma distância entre eles.
Depois divido cada espaço de 1 unidade em 10 partes iguais. Cada parte vale 1 décimo, ou seja, 0,1.
Agora marco cada número contando os tracinhos:
0,6 → parte do 0 e conto 6 tracinhos. 1,4 → parte do 1 e conto 4 tracinhos. 2,3 → parte do 2 e conto 3 tracinhos. 2,9 → parte do 2 e conto 9 tracinhos (fica quase no 3).
Um desenho simples: 0 |--|--|--|--|--|----|--|--|--| 1 ... com o em 0,6.
23Múltipla escolha
Em uma reta numérica, cada unidade foi dividida em 10 partes iguais. Cada traço representa:
Resposta
Alternativa b) 1 décimo (0,1).
Resolução passo a passo
Se eu pego 1 unidade inteira e divido em 10 partes iguais, cada pedacinho é a décima parte do inteiro.
Em fração: 1 ÷ 10 = 1/10. Em decimal: 0,1.
Para virar centésimos (0,01) eu teria que dividir cada unidade em 100 partes, e para milésimos (0,001), em 1 000 partes.
24Dissertativo
Explique, com suas palavras, quais passos você seguiria para localizar o número 2,347 na reta numérica. Fale sobre décimos, centésimos e milésimos.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Primeiro acho o 2 e o 3; depois ando 3 décimos; depois 4 centésimos; por fim 7 milésimos. O número fica entre 2,34 e 2,35.
Resolução passo a passo
Passo 1: vejo a parte inteira. Ela é 2, então o número está entre 2 e 3.
Passo 2: divido esse espaço em 10 partes (os décimos). Como o algarismo dos décimos é 3, ando 3 partes e chego em 2,3. Agora sei que o número está entre 2,3 e 2,4.
Passo 3: dou um zoom e divido o pedaço de 2,3 até 2,4 em 10 partes (os centésimos). Como o algarismo é 4, ando 4 partes e chego em 2,34. O número está entre 2,34 e 2,35.
Passo 4: dou mais um zoom e divido de 2,34 até 2,35 em 10 partes (os milésimos). Ando 7 partes e chego exatamente em 2,347.
Resumindo: a cada casa decimal eu dou um zoom na reta e divido o pedacinho em 10 partes iguais.
25Dissertativo
Escreva dois números decimais que estejam entre 1,2 e 1,3 na reta numérica. Depois, explique por que sempre é possível encontrar outro número decimal entre dois números decimais.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Dois exemplos: 1,25 e 1,27 (qualquer número entre 1,2 e 1,3 serve, como 1,21; 1,234; 1,299).
Resolução passo a passo
Truque: escrevo os dois números com a mesma quantidade de casas decimais. 1,2 = 1,20 e 1,3 = 1,30.
Agora fica fácil ver os números que ficam no meio: 1,21; 1,22; 1,23; ... ; 1,29. Escolho dois, por exemplo 1,25 e 1,27.
Por que sempre dá para achar outro número no meio? Porque posso acrescentar mais uma casa decimal e dividir o pedacinho em 10 partes de novo. Entre 1,25 e 1,26, por exemplo, estão 1,251; 1,252; 1,253...
Ou seja, esse processo nunca termina: entre dois números decimais existem infinitos outros números decimais.
Comparação entre números decimais
26Calcule
Compare os números decimais e escreva os sinais > , < ou = .
a) 4,509 ____ 4,51 b) 0,0007 ____ 0,007 c) 12,30 ____ 12,3 d) 9,1 ____ 10,05 e) 3,0080 ____ 3,08 f) 100,4 ____ 10,04
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) < b) < c) = d) < e) < f) >
Resolução passo a passo
Regra: primeiro comparo a parte inteira. Se ela for igual, igualo a quantidade de casas decimais com zeros à direita e comparo casa por casa.
a) 4,509 e 4,510 → partes inteiras iguais (4); décimos iguais (5); centésimos: 0 < 1 → 4,509 < 4,51.
b) 0,0007 e 0,0070 → milésimos: 0 < 7 → 0,0007 < 0,007.
c) 12,30 e 12,3 → o zero final não muda nada → 12,30 = 12,3.
d) 9,1 e 10,05 → basta a parte inteira: 9 < 10 → 9,1 < 10,05.
Agora comparo só as partes decimais como se fossem inteiros: 007 < 070 < 700 = 700 < 770.
Ordem crescente: 2,007 ; 2,07 ; 2,7 ; 2,70 ; 2,77 (lembrando que 2,7 e 2,70 são o mesmo número).
28Dissertativo
Um aluno disse: “3,9 é menor que 3,15 porque 15 é maior que 9”. Essa afirmação está certa ou errada? Explique o erro do aluno usando frações decimais com o mesmo denominador.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A afirmação está errada: 3,9 é maior que 3,15.
Resolução passo a passo
O erro do aluno foi comparar as partes decimais como se fossem números inteiros soltos, sem olhar o valor posicional. O 9 de 3,9 está nos décimos, e o 15 de 3,15 está nos centésimos.
Usando frações decimais com o mesmo denominador:
3,9 = 3 + 9/10 = 3 + 90/100 3,15 = 3 + 15/100
Agora os dois têm denominador 100. Comparo os numeradores: 90 > 15.
Logo, 3,9 > 3,15. Um jeito rápido de fazer isso é escrever 3,9 como 3,90 e comparar casa por casa.
29Múltipla escolha
Em uma prova de natação, os tempos foram: Ana 28,45 s; Bia 28,4 s; Carla 28,504 s; Duda 28,54 s. Quem foi a vencedora (menor tempo)?
Resposta
Alternativa b) Bia.
Resolução passo a passo
Na natação vence quem faz o menor tempo. Igualo as casas decimais:
Dica prática: para ir de decimal para porcentagem, multiplico por 100 (ando 2 casas com a vírgula para a direita).
32Múltipla escolha
Uma figura foi dividida em 20 partes iguais e 9 delas foram pintadas. Que porcentagem da figura está pintada?
Resposta
Alternativa c) 45%.
Resolução passo a passo
A parte pintada é 9 de 20 partes, ou seja, a fração 9/20.
Para achar a porcentagem, transformo em fração de denominador 100. Como 20 × 5 = 100, multiplico em cima e embaixo por 5:
9/20 = (9 × 5)/(20 × 5) = 45/100.
45/100 = 45%.
Perceba que 9/20 é quase a metade da figura, e a metade seria 50%. Por isso 45% faz sentido.
33Dissertativo
Uma notícia diz: “60% dos estudantes de uma escola praticam esporte”. Escreva três frases diferentes que expliquem essa informação usando "a cada 10", "a cada 100" e "a cada 1 000" estudantes.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
6 a cada 10 estudantes praticam esporte; 60 a cada 100 estudantes praticam esporte; 600 a cada 1 000 estudantes praticam esporte.
Resolução passo a passo
60% quer dizer 60/100, isto é, 60 em cada 100.
Frase 1 (a cada 10): simplifico a fração dividindo por 10 → 60/100 = 6/10. Então: A cada 10 estudantes da escola, 6 praticam esporte.
Frase 2 (a cada 100): uso a fração original. Então: A cada 100 estudantes da escola, 60 praticam esporte.
Frase 3 (a cada 1 000): multiplico por 10 → 60/100 = 600/1000. Então: A cada 1 000 estudantes da escola, 600 praticam esporte.
As três frases dizem a mesma coisa, porque 6/10, 60/100 e 600/1000 são frações equivalentes.
Cálculo de 100%, 50%, 25%, 20%, 10% e 1% de um valor
34Calcule
Calcule mentalmente, usando as estratégias estudadas.
a) 1% de R$ 240,00 b) 10% de R$ 240,00 c) 20% de R$ 240,00 d) 25% de R$ 240,00 e) 50% de R$ 240,00 f) 100% de R$ 240,00
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) R$ 2,40 b) R$ 24,00 c) R$ 48,00 d) R$ 60,00 e) R$ 120,00 f) R$ 240,00
Resolução passo a passo
Guarde estes atalhos: 1% = dividir por 100, 10% = dividir por 10, 20% = dividir por 5, 25% = dividir por 4, 50% = dividir por 2 e 100% = o valor todo.
a) 1% de 240 → 240 ÷ 100 = 2,40.
b) 10% de 240 → 240 ÷ 10 = 24.
c) 20% de 240 → é o dobro de 10%: 24 × 2 = 48 (ou 240 ÷ 5 = 48).
d) 25% de 240 → 240 ÷ 4 = 60.
e) 50% de 240 → 240 ÷ 2 = 120.
f) 100% de 240 → o valor inteiro = 240.
35Calcule
Complete a tabela abaixo com as quantidades que faltam.
a) 10% de 800 + 25% de 800 + 5% de 800 b) 40% de 800
• Compare os dois resultados. A que conclusão você chegou? Justifique.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 80 + 200 + 40 = 320 b) 320. Os resultados são iguais, porque 10% + 25% + 5% = 40%.
Resolução passo a passo
a) Calculo cada parte de 800:
10% de 800 = 800 ÷ 10 = 80 25% de 800 = 800 ÷ 4 = 200 5% de 800 = metade de 10% = 40
Somando: 80 + 200 + 40 = 320.
b) 40% de 800: 10% é 80, então 40% é 80 × 4 = 320.
Conclusão: os dois resultados são iguais. Isso acontece porque as porcentagens se somam: 10% + 25% + 5% = 40%. Aplicar várias porcentagens sobre o mesmo valor e somar dá o mesmo que aplicar a soma das porcentagens de uma vez só.
37Múltipla escolha
Calcular 20% de um valor é o mesmo que:
Resposta
Alternativa c) dividir o valor por 5.
Resolução passo a passo
20% quer dizer 20/100. Simplificando essa fração por 20, obtenho 1/5.
Tomar 1/5 de um valor é o mesmo que dividir por 5.
Testando com um número fácil: 20% de 100 = 20, e 100 ÷ 5 = 20. Confere!
As outras opções são: dividir por 2 = 50%; dividir por 4 = 25%; dividir por 20 = 5%.
38Múltipla escolha
Assinale a opção que completa cada frase corretamente.
I. A metade de um valor corresponde a II. A terça parte de um valor NÃO pode ser escrita como porcentagem exata de números inteiros, mas a quarta parte corresponde a
Resposta
Alternativa b) I – 50% ; II – 25%.
Resolução passo a passo
I. A metade é 1/2. Transformando em fração de denominador 100: 1/2 = 50/100 = 50%.
II. A quarta parte é 1/4. Do mesmo jeito: 1/4 = 25/100 = 25%.
(A terça parte, 1/3, daria 33,333...%, que não é um número inteiro exato — por isso o enunciado comenta isso.)
Então a única alternativa com I = 50% e II = 25% é a letra b.
Resolução de problemas com porcentagem
39Calcule
A mensalidade de um curso de inglês custa R$ 480,00. No próximo mês haverá um aumento de 15%. Qual será o novo valor da mensalidade?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
A nova mensalidade será de R$ 552,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: calcular o aumento, que é 15% de 480.
10% de 480 = 48 5% de 480 = metade de 48 = 24 15% = 48 + 24 = R$ 72,00
Passo 2: como é aumento, somo ao valor original:
480 + 72 = R$ 552,00.
Outro caminho, mais direto: 100% + 15% = 115% = 1,15. Então 480 × 1,15 = 552.
40Calcule
Uma geladeira custa R$ 2 500,00 a prazo. Pagando à vista, a loja dá 12% de desconto. Qual é o valor do desconto e quanto se paga à vista?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Desconto de R$ 300,00; à vista paga-se R$ 2 200,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: calcular 12% de 2 500.
1% de 2 500 = 2 500 ÷ 100 = 25 12% = 25 × 12 = R$ 300,00 (esse é o desconto)
Passo 2: como é desconto, subtraio do preço a prazo:
Um produto está sendo vendido com 30% de desconto sobre o preço de tabela. Para calcular direto o valor a ser pago, o preço de tabela deve ser:
Resposta
Alternativa b) multiplicado por 0,70.
Resolução passo a passo
Se o desconto é de 30%, quem paga continua pagando o resto:
100% − 30% = 70%.
E 70% = 70/100 = 0,70.
Então, para achar o valor a pagar de uma vez só, multiplico o preço de tabela por 0,70.
Exemplo: um produto de R$ 100,00 → 100 × 0,70 = R$ 70,00. Se eu multiplicasse por 0,30, acharia só o valor do desconto (R$ 30,00), e não o valor a pagar.
46Múltipla escolha
Sabe-se que, das 20 toneladas diárias recolhidas na coleta seletiva de uma cidade, 25% são de papel. Sabendo que 1 kg de papel é vendido a R$ 0,40 e que 1 tonelada = 1 000 quilos, quanto se arrecada em um dia com a venda do papel?
Resposta
Alternativa b) R$ 2 000,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: quanto de papel é recolhido por dia? 25% de 20 toneladas.
25% = dividir por 4 → 20 ÷ 4 = 5 toneladas de papel.
Passo 2: transformar em quilos, porque o preço é por quilo.
5 × 1 000 = 5 000 kg.
Passo 3: multiplicar pelo preço de cada quilo.
5 000 × 0,40 = R$ 2 000,00.
Dica para a conta: 5 000 × 0,40 = 5 000 × 4 ÷ 10 = 20 000 ÷ 10 = 2 000.
47Múltipla escolha
Uma loja remarcou todos os preços com 10% de desconto. Quem tem o cartão da loja ganha ainda mais 20% de desconto no caixa. Marina tem o cartão e quer comprar um tênis que custava R$ 200,00 antes da remarcação. Quanto ela economiza APENAS por causa do cartão?
Resposta
Alternativa b) R$ 36,00.
Resolução passo a passo
Atenção: os descontos são aplicados um depois do outro, não somados.
Passo 1: desconto da remarcação (10% de 200):
10% de 200 = 20 → novo preço = 200 − 20 = R$ 180,00.
Passo 2: agora vem o desconto do cartão, que incide sobre os R$ 180,00:
20% de 180 = 180 ÷ 5 = R$ 36,00.
Como a pergunta é quanto ela economiza APENAS por causa do cartão, a resposta é R$ 36,00 (ela pagaria 180 − 36 = R$ 144,00).
O erro comum é calcular 20% de 200 = 40, mas o cartão dá desconto sobre o preço já remarcado.
48Calcule
Laura saiu de casa com R$ 500,00. Gastou R$ 200,00 no mercado, R$ 50,00 no transporte, pagou a conta de água e ainda gastou R$ 125,00 com remédios. Sabendo que não sobrou dinheiro, qual é a porcentagem que a conta de água representa dos R$ 500,00?
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Resposta
A conta de água foi de R$ 125,00, o que representa 25% dos R$ 500,00.
Resolução passo a passo
Passo 1: somar os gastos que já conheço.
200 + 50 + 125 = R$ 375,00.
Passo 2: como não sobrou dinheiro, a conta de água é o que falta para chegar a 500.
500 − 375 = R$ 125,00.
Passo 3: transformar em porcentagem, comparando com o total de 500.
125/500. Simplificando por 5: 25/100 = 25%.
Outro modo: 125 ÷ 500 = 0,25 = 25%. E faz sentido, porque 125 é exatamente a quarta parte de 500.
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Capítulo 11 – Números decimais e porcentagem (Unidade 3: Correndo contra o tempo)
Resumo rápido
Capítulo 11 – Números decimais e porcentagem (Unidade 3: Correndo contra o tempo)
Resumo rápido
1Frações decimais
Uma fração decimal é aquela que tem no denominador uma potência de 10, como 10, 100 ou 1000.
Cada uma tem um nome especial na leitura: 3/10 lê-se "três décimos", 5/100 lê-se "cinco centésimos" e 7/1000 lê-se "sete milésimos".
Uma fração que não é decimal pode virar decimal se existir uma fração equivalente com denominador 10, 100, 1000...
📐 Para guardar
3/10 = 3/10¹
5/100 = 5/10²
7/1000 = 7/10³
Exemplo
1/2 = 5/10, porque 2 é divisor de 10 (multiplicamos numerador e denominador por 5).
2Notação decimal
Nosso sistema de numeração é posicional: cada posição vale uma potência de 10.
Para escrever valores menores que 1, usamos a vírgula. Ela separa a parte inteira da parte decimal.
Depois da vírgula vêm, nesta ordem: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, e assim por diante.
📐 Para guardar
1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/1000 = 0,001
Exemplo
3145/1000 = 3 + 1/10 + 4/100 + 5/1000 = 3,145
2.1Leitura de um número decimal
Se a parte inteira não é zero, lemos a parte inteira + a palavra inteiros + a parte decimal com o nome da última ordem.
Se a parte inteira é zero, lemos só a parte decimal.
Exemplo
1,23 lê-se "um inteiro e vinte e três centésimos"; 0,007 lê-se "sete milésimos".
3Frações e números decimais
O número de casas decimais (algarismos depois da vírgula) é igual ao número de zeros do denominador da fração decimal.
Para transformar decimal em fração: escreva o número sem a vírgula no numerador e, no denominador, o 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.
Para transformar fração decimal em número decimal: no numerador, ande com a vírgula tantas casas quantos são os zeros do denominador.
Acrescentar ou tirar zeros à direita da parte decimal não muda o valor: 0,7 = 0,70 = 0,700.
📐 Para guardar
4,18 = 418/100
35/100 = 0,35
Exemplo
13,29 = 1329/100 (2 casas decimais → 2 zeros).
3.1Quando uma fração vira número decimal exato
Fatore o denominador. Se aparecerem só os fatores 2 e/ou 5, dá para achar uma fração decimal equivalente.
Se aparecer outro fator (como 3 ou 7), não é possível escrever como fração decimal.
📐 Para guardar
2/25 = 2/(5·5) = (2·2·2)/(5·2·5·2) = 8/100 = 0,08
Exemplo
1/16 dá certo (16 = 2·2·2·2); 1/12 não dá, porque 12 tem o fator 3.
4Números decimais na reta numérica
Todo número decimal tem um lugar na reta numérica. Primeiro veja entre quais inteiros ele está; depois divida esse intervalo em 10 partes (décimos), cada décimo em 10 (centésimos), e assim por diante.
Na reta, os números crescem no sentido da seta. E entre dois números decimais sempre existem outros números decimais.
Exemplo
Para achar 1,653: entre 1 e 2 → entre 1,6 e 1,7 → entre 1,65 e 1,66.
5Comparação entre números decimais
O maior número é o que está mais à direita na reta numérica.
Regra 1: se as partes inteiras são diferentes, o maior é o que tem a maior parte inteira.
Regra 2: se as partes inteiras são iguais, iguale a quantidade de casas decimais acrescentando zeros à direita e compare a parte decimal.
Cuidado: nos decimais, ter mais algarismos não quer dizer ser maior.
📐 Para guardar
5,16 > 4,18
3,7 = 3,70 < 3,78
Exemplo
Comparar 2,4 e 2,25: 240/100 > 225/100, então 2,4 > 2,25.
6Noções de porcentagem
Porcentagem significa "por cento", ou seja, de cada 100 partes.
Toda porcentagem pode ser escrita como fração centesimal (denominador 100) e também como número decimal.
Dizer que 30% dos alunos usam óculos significa que, a cada 100 alunos, 30 usam óculos.
📐 Para guardar
30% = 30/100 = 0,3
15% = 15/100 = 0,15
100% = 100/100 = 1 (o todo)
Exemplo
30% de 40 alunos = (30/100) · 40 = 12 alunos.
6.1Cálculo rápido de porcentagens
Algumas porcentagens dão para calcular de cabeça, usando divisões simples:
50% = dividir por 2; 25% = dividir por 4; 20% = dividir por 5; 10% = dividir por 10; 1% = dividir por 100.
Para outras porcentagens, some partes: 15% = 10% + 5%.
📐 Para guardar
50% de x = x ÷ 2
25% de x = x ÷ 4
10% de x = x ÷ 10
1% de x = x ÷ 100
Exemplo
15% de R$ 180,00: 10% = 18 e 5% = 9, então 18 + 9 = R$ 27,00.
6.2Resolução de problemas com porcentagem
Aumento: calcule a porcentagem do valor e some ao valor inicial.
Desconto: calcule a porcentagem do valor e subtraia do valor inicial.
Descobrir a porcentagem: escreva a fração parte/total e transforme em fração de denominador 100 (ou divida parte por total e multiplique por 100).
📐 Para guardar
Aumento: valor final = valor + (p% · valor)
Desconto: valor final = valor − (p% · valor)
Porcentagem = (parte ÷ total) · 100%
Exemplo
Bicicleta de R$ 1400,00 com 20% de desconto: 0,20 · 1400 = 280; preço à vista = 1400 − 280 = R$ 1120,00.
Toque em Exercícios para praticar o conteúdo.
Exercícios
Selecione, verifique e veja a resposta quando quiser. Tudo fica salvo neste iPad.
Frações decimais
1Calcule
Complete os numeradores que estão faltando para que as igualdades entre frações equivalentes fiquem verdadeiras.
a) 1/5 = ___/10 b) 3/2 = ___/10 c) 9/20 = ___/100 d) 13/50 = ___/100 e) 3/8 = ___/1000 f) 21/250 = ___/1000
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Resposta
a) 2 b) 15 c) 45 d) 26 e) 375 f) 84
Resolução passo a passo
Para achar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Primeiro descubro por quanto o denominador foi multiplicado.
a) 5 × 2 = 10, então 1 × 2 = 2. Logo, 1/5 = 2/10.
b) 2 × 5 = 10, então 3 × 5 = 15. Logo, 3/2 = 15/10.
c) 20 × 5 = 100, então 9 × 5 = 45. Logo, 9/20 = 45/100.
Qual das frações a seguir NÃO possui uma fração decimal equivalente?
Resposta
Alternativa c) 4/15.
Resolução passo a passo
Uma fração só tem equivalente decimal quando, ao fatorar o denominador, aparecem apenas os fatores 2 e 5. Isso acontece porque 10 = 2 × 5.
a) 40 = 2 × 2 × 2 × 5 → só 2 e 5. Tem equivalente: 7/40 = 175/1000 = 0,175.
b) 16 = 2 × 2 × 2 × 2 → só 2. Tem equivalente: 5/16 = 3125/10000 = 0,3125.
c) 15 = 3 × 5 → apareceu o fator 3, que não é 2 nem 5. Não dá para chegar a uma potência de 10.
d) 125 = 5 × 5 × 5 → só 5. Tem equivalente: 9/125 = 72/1000 = 0,072.
Portanto, a fração que NÃO possui fração decimal equivalente é 4/15.
Notação decimal
3Calcule
Escreva cada fração decimal usando a notação decimal (com vírgula).
a) 9/10 b) 4/100 c) 76/100 d) 305/1000
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 0,9 b) 0,04 c) 0,76 d) 0,305
Resolução passo a passo
Na notação decimal, a quantidade de zeros do denominador diz quantas casas ficam depois da vírgula.
a) 9/10 → o 10 tem 1 zero, então 1 casa decimal: 0,9.
b) 4/100 → o 100 tem 2 zeros, então 2 casas: escrevo o 4 e completo com zero à esquerda: 0,04.
c) 76/100 → 2 zeros, 2 casas: 0,76.
d) 305/1000 → o 1 000 tem 3 zeros, então 3 casas: 0,305.
4Múltipla escolha
No número 47 des0,9... Observe o número 0,08. Ele representa:
Resposta
Alternativa b) 8 centésimos.
Resolução passo a passo
No número 0,08, vou contar as casas depois da vírgula.
Primeira casa: 0 (décimos). Segunda casa: 8 (centésimos).
Como o algarismo 8 está na segunda casa, ele vale 8 centésimos, ou seja, 8/100.
Se fosse 0,8, aí sim seriam 8 décimos. E 0,008 seriam 8 milésimos.
Representação gráfica dos números decimais
5Calcule
Escreva a fração imprópria 4 236/1000 na forma decimal. Depois, mostre a decomposição dela, como no exemplo do capítulo: 3 145/1000 = 3 + 1/10 + 4/100 + 5/1000
A regra é sempre a mesma: conto os zeros do denominador e ando essa quantidade de casas com a vírgula, da direita para a esquerda.
a) 23/10 → 1 zero → 1 casa → 2,3.
b) 1 508/100 → 2 zeros → 2 casas → 15,08.
c) 7 049/1000 → 3 zeros → 3 casas → 7,049.
d) 90/1000 → 3 zeros → 3 casas → 0,090. Como o zero está no fim da parte decimal, ele pode ser retirado: 0,09.
Leitura de um número decimal
7Dissertativo
Escreva como são lidos os números a seguir, usando a linguagem matemática.
a) 5,74 b) 120,6 c) 0,0092 d) 8,305
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) cinco inteiros e setenta e quatro centésimos; b) cento e vinte inteiros e seis décimos; c) noventa e dois décimos de milésimo; d) oito inteiros e trezentos e cinco milésimos.
Resolução passo a passo
Para ler um decimal, leio a parte inteira, digo inteiros, leio a parte decimal como se fosse um número inteiro e termino com o nome da última casa depois da vírgula.
a) 5,74 → parte inteira 5; parte decimal 74; última casa = centésimos → cinco inteiros e setenta e quatro centésimos.
b) 120,6 → parte inteira 120; parte decimal 6; última casa = décimos → cento e vinte inteiros e seis décimos.
c) 0,0092 → parte inteira 0 (não preciso falar); parte decimal 92; são 4 casas, e a quarta casa é a dos décimos de milésimo → noventa e dois décimos de milésimo.
d) 8,305 → parte inteira 8; parte decimal 305; última casa = milésimos → oito inteiros e trezentos e cinco milésimos.
8Dissertativo
Considere o número 7 204,315 e responda.
a) Qual é o algarismo da ordem dos centésimos? b) Qual é o algarismo da ordem das unidades de milhar? c) Qual é o algarismo da ordem dos décimos? d) Como se lê esse número?
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) 1 b) 7 c) 3 d) Sete mil, duzentos e quatro inteiros e trezentos e quinze milésimos.
a) O algarismo dos centésimos é a segunda casa depois da vírgula: 1.
b) O algarismo das unidades de milhar é o primeiro da esquerda: 7.
c) O algarismo dos décimos é a primeira casa depois da vírgula: 3.
d) Leio a parte inteira (7 204), digo inteiros, leio a parte decimal (315) e termino com o nome da última casa (milésimos): sete mil, duzentos e quatro inteiros e trezentos e quinze milésimos.
9Múltipla escolha
O tempo de um atleta nos 100 metros rasos foi de 9,807 segundos. A leitura correta desse número é:
Resposta
Alternativa b) nove inteiros e oitocentos e sete milésimos.
Resolução passo a passo
No número 9,807 a parte inteira é 9 e a parte decimal é 807.
Conto as casas depois da vírgula: 8 (décimos), 0 (centésimos), 7 (milésimos). São 3 casas, então a última é a dos milésimos.
Leio a parte decimal como número inteiro: oitocentos e sete. Junto tudo: nove inteiros e oitocentos e sete milésimos.
A letra a erra na casa (diz centésimos), a c esquece o zero e a d muda a parte inteira.
Frações e números decimais
10Calcule
Transforme os números decimais a seguir em frações decimais.
a) 0,7 b) 4,29 c) 0,0061 d) 15,004
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Resposta
a) 7/10 b) 429/100 c) 61/10000 d) 15 004/1000
Resolução passo a passo
Para transformar um decimal em fração decimal, escrevo o número sem a vírgula no numerador e, no denominador, o 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas depois da vírgula.
a) 0,7 → 1 casa → denominador 10 → 7/10.
b) 4,29 → 2 casas → denominador 100 → 429/100.
c) 0,0061 → 4 casas → denominador 10 000 → o número sem vírgula é 0061, ou seja, 61 → 61/10000.
Julgue como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação e corrija as falsas.
a)0,3 = 0,30 = 0,300
b)0,5 é menor que 0,50
c)Acrescentar zeros à direita da parte decimal muda o valor do número
d)2,60 e 2,6 representam a mesma quantidade
Resposta
a) V b) F (são iguais) c) F (não muda o valor) d) V
Resolução passo a passo
A ideia principal é: zeros colocados à direita da parte decimal não mudam o valor do número.
a) (V) 0,3 = 3/10 = 30/100 = 300/1000, ou seja, 0,3 = 0,30 = 0,300.
b) (F) 0,5 e 0,50 são iguais, pois 5/10 = 50/100. A correção é: 0,5 é igual a 0,50.
c) (F) Acrescentar zeros à direita da parte decimal NÃO muda o valor. Correção: acrescentar zeros à direita da parte decimal mantém o mesmo valor. (Já acrescentar zeros entre a vírgula e os algarismos, como em 0,05, muda tudo!)
d) (V) 2,60 = 2 + 60/100 = 2 + 6/10 = 2,6. São a mesma quantidade.
12Calcule
Use o método de Laila (fatorar o denominador e completar até formar potências de 10) e transforme cada fração em fração decimal e em número decimal.
a) 1/4 b) 3/5 c) 7/8 d) 11/40
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Resposta
a) 1/4 = 25/100 = 0,25 b) 3/5 = 6/10 = 0,6 c) 7/8 = 875/1000 = 0,875 d) 11/40 = 275/1000 = 0,275
Resolução passo a passo
O método é fatorar o denominador e completar com os fatores que faltam para chegar a uma potência de 10.
a) 4 = 2 × 2. Falta 5 × 5 = 25 para virar 100. Multiplico em cima e embaixo por 25: (1 × 25)/(4 × 25) = 25/100 = 0,25.
b) 5 já é metade de 10. Multiplico por 2: (3 × 2)/(5 × 2) = 6/10 = 0,6.
c) 8 = 2 × 2 × 2. Falta 5 × 5 × 5 = 125 para virar 1 000. Multiplico por 125: (7 × 125)/(8 × 125) = 875/1000 = 0,875.
Agora ligo cada resultado na ordem em que aparecem os parênteses: 0,75 é E; 2,31 é A; 0,045 é D; 1,125 é C; 0,5 é B.
Os números decimais na reta numérica
14Múltipla escolha
Em uma reta numérica, cada unidade foi dividida em 10 partes iguais. Cada traço representa:
Resposta
Alternativa b) 1 décimo (0,1).
Resolução passo a passo
Se eu pego 1 unidade inteira e divido em 10 partes iguais, cada pedacinho é a décima parte do inteiro.
Em fração: 1 ÷ 10 = 1/10. Em decimal: 0,1.
Para virar centésimos (0,01) eu teria que dividir cada unidade em 100 partes, e para milésimos (0,001), em 1 000 partes.
15Dissertativo
Escreva dois números decimais que estejam entre 1,2 e 1,3 na reta numérica. Depois, explique por que sempre é possível encontrar outro número decimal entre dois números decimais.
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
Dois exemplos: 1,25 e 1,27 (qualquer número entre 1,2 e 1,3 serve, como 1,21; 1,234; 1,299).
Resolução passo a passo
Truque: escrevo os dois números com a mesma quantidade de casas decimais. 1,2 = 1,20 e 1,3 = 1,30.
Agora fica fácil ver os números que ficam no meio: 1,21; 1,22; 1,23; ... ; 1,29. Escolho dois, por exemplo 1,25 e 1,27.
Por que sempre dá para achar outro número no meio? Porque posso acrescentar mais uma casa decimal e dividir o pedacinho em 10 partes de novo. Entre 1,25 e 1,26, por exemplo, estão 1,251; 1,252; 1,253...
Ou seja, esse processo nunca termina: entre dois números decimais existem infinitos outros números decimais.
Comparação entre números decimais
16Calcule
Compare os números decimais e escreva os sinais > , < ou = .
a) 4,509 ____ 4,51 b) 0,0007 ____ 0,007 c) 12,30 ____ 12,3 d) 9,1 ____ 10,05 e) 3,0080 ____ 3,08 f) 100,4 ____ 10,04
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) < b) < c) = d) < e) < f) >
Resolução passo a passo
Regra: primeiro comparo a parte inteira. Se ela for igual, igualo a quantidade de casas decimais com zeros à direita e comparo casa por casa.
a) 4,509 e 4,510 → partes inteiras iguais (4); décimos iguais (5); centésimos: 0 < 1 → 4,509 < 4,51.
b) 0,0007 e 0,0070 → milésimos: 0 < 7 → 0,0007 < 0,007.
c) 12,30 e 12,3 → o zero final não muda nada → 12,30 = 12,3.
d) 9,1 e 10,05 → basta a parte inteira: 9 < 10 → 9,1 < 10,05.
Dica prática: para ir de decimal para porcentagem, multiplico por 100 (ando 2 casas com a vírgula para a direita).
Cálculo de 100%, 50%, 25%, 20%, 10% e 1% de um valor
21Calcule
Calcule mentalmente, usando as estratégias estudadas.
a) 1% de R$ 240,00 b) 10% de R$ 240,00 c) 20% de R$ 240,00 d) 25% de R$ 240,00 e) 50% de R$ 240,00 f) 100% de R$ 240,00
A sua resposta fica salva neste iPad.
Resposta
a) R$ 2,40 b) R$ 24,00 c) R$ 48,00 d) R$ 60,00 e) R$ 120,00 f) R$ 240,00
Resolução passo a passo
Guarde estes atalhos: 1% = dividir por 100, 10% = dividir por 10, 20% = dividir por 5, 25% = dividir por 4, 50% = dividir por 2 e 100% = o valor todo.
a) 1% de 240 → 240 ÷ 100 = 2,40.
b) 10% de 240 → 240 ÷ 10 = 24.
c) 20% de 240 → é o dobro de 10%: 24 × 2 = 48 (ou 240 ÷ 5 = 48).
d) 25% de 240 → 240 ÷ 4 = 60.
e) 50% de 240 → 240 ÷ 2 = 120.
f) 100% de 240 → o valor inteiro = 240.
22Calcule
Efetue as operações e depois responda à pergunta.
a) 10% de 800 + 25% de 800 + 5% de 800 b) 40% de 800
• Compare os dois resultados. A que conclusão você chegou? Justifique.
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Resposta
a) 80 + 200 + 40 = 320 b) 320. Os resultados são iguais, porque 10% + 25% + 5% = 40%.
Resolução passo a passo
a) Calculo cada parte de 800:
10% de 800 = 800 ÷ 10 = 80 25% de 800 = 800 ÷ 4 = 200 5% de 800 = metade de 10% = 40
Somando: 80 + 200 + 40 = 320.
b) 40% de 800: 10% é 80, então 40% é 80 × 4 = 320.
Conclusão: os dois resultados são iguais. Isso acontece porque as porcentagens se somam: 10% + 25% + 5% = 40%. Aplicar várias porcentagens sobre o mesmo valor e somar dá o mesmo que aplicar a soma das porcentagens de uma vez só.
Resolução de problemas com porcentagem
23Calcule
Pedro acertou 18 das 25 questões de uma prova. Que porcentagem das questões ele acertou?
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Resposta
Pedro acertou 72% das questões.
Resolução passo a passo
Passo 1: escrever a situação como fração: acertos sobre o total = 18/25.
Passo 2: transformar em fração de denominador 100. Como 25 × 4 = 100, multiplico numerador e denominador por 4:
18/25 = (18 × 4)/(25 × 4) = 72/100.
Passo 3: 72/100 = 72%.
Conferindo: 72% de 25 = 0,72 × 25 = 18. Certinho!
24Calcule
Em uma escola com 900 alunos, 35% estudam de manhã, 45% à tarde e os demais à noite.
a) Quantos alunos estudam à noite? b) Qual é a diferença entre o número de alunos da tarde e o da manhã?
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Resposta
a) 180 alunos estudam à noite. b) A diferença é de 90 alunos.
Resolução passo a passo
a) Primeiro descubro a porcentagem da noite. O total é sempre 100%:
100% − 35% − 45% = 20% estudam à noite.
Agora calculo 20% de 900: 900 ÷ 5 = 180 alunos.
b) Posso fazer de dois jeitos. Pela porcentagem: 45% − 35% = 10%, e 10% de 900 = 90 alunos.
Ou calculando cada turno: manhã = 35% de 900 = 315 alunos; tarde = 45% de 900 = 405 alunos. Diferença: 405 − 315 = 90 alunos.